14 O movimento de uma partícula é ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância da partícula a partir de um ponto O , em t s. A direção positiva é à direita. Determine os intervalos de tempo em que a partícula move-se para a direita e para a esquerda. Determine também quando a partícula reverte o sentido do movimento. Mostre o comportamento do movimento através de uma figura similar à Figura 2 e escolha valores de t ao acaso, mas inclua os valores de t em que a partícula muda o sentido do movimento.

s = (t + 1) / (t^2 + 4)

Passo 1

Para que alguma coisa que está se mexendo pra direita mude de direção e vá para a esquerda é necessário que em algum momento ela pare de se mexer, isso acontece exatamente quando a velocidade é zero, pois a velocidade de uma coisa parada é zero, além disso o sentido da velocidade indica o sentido do movimento. Como já foi abordado nos exercícios anteriores

d s d t = v ( t )

Então bora derivar!

Passo 2

s = t + 1 t 2 + 4

v t = d s d t = t + 1 ' t 2 + 4 - t 2 + 4 ' t + 1 t 2 + 4 2 = t 2 + 4 - 2 t t + 1 t 2 + 4 2 = t 2 + 4 - 2 t 2 - 2 t t 2 + 4 2

= - t 2 - 2 t + 4 t 2 + 4 2 ⟹ v t = - t 2 - 2 t + 4 t 2 + 4 2

Passo 3

v t = 0 ⟺ - t 2 - 2 t + 4 = 0

t = - - 2 ± - 2 2 - 4 ⋅ - 1 ⋅ 4 2 ⋅ - 1 = 2 ± 4 + 16 - 2 = 2 ± 20 - 2 = 2 ± 2 5 - 2

⟹ t = t 1 = 2 + 2 5 - 2 = - 1 - 5 t 2 = 2 - 2 5 - 2 = - 1 + √ 5

Passo 4

Para estudarmos o sinal de v ( t ) usaremos métodos sofisticados do nono ano, o sinal de v ( t ) será dado dada por uma parábola y = - t 2 - 2 t + 4 de com cavidade pra baixo e com raízes - 1 - 5 e - 1 + √ 5 .

Passo 5

Chegou a hora de montar o gráfica e ver que beleza ficou, pra isso vamos precisar dos valores de s onde a partícula muda de sentido, mas relaxa é só substituir t 1 e t 2 em s ( t ) .

s - 1 + 5 = - 1 + √ 5 + 1 ( - 1 + √ 5 ) 2 + 4 = 5 1 - 2 5 + 5 + 4 = 5 - 2 5 + 10 = a

s - 1 - 5   = - 1 - 5 + 1 ( - 1 - 5 ) 2 + 4 = - 5 1 + 2 5 + 5 + 4 = - 5 2 5 + 10 = b

Resposta

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