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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 26

26. Dada x^2 + 25 y^2 = 100 , mostre que

(d^2 y)/(d x^2) = - (4)/(25 y^3)

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 2 precisamos ter em mente duas coisas:

1 - Teremos que fazer 2 derivadas. Uma da função dada e uma da que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 – Teremos que isolar o y na equação dada para obter uma dependência em x e assim realizar as derivadas. Assim teremos:

y = sqrt(4 - (x^2)/(25)) = (4 - (x^2)/(25))^((1)/(2))

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

(d y)/(d x) = (d)/(d x) [(4 - (x^2)/(25))^((1)/(2))]

= (1)/(2) (4 - (x^2)/(25))^(- (1)/(2)) * (- (2 x)/(25))

= - (x)/(25) (4 - (x^2)/(25))^(- (1)/(2))

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso colchete.

(d)/(d x) [- (x)/(25) (4 - (x^2)/(25))^(- (1)/(2))] = (d)/(d x) (- (x)/(25)) * (4 - (x^2)/(25))^(- (1)/(2)) + (- (x)/(25)) * (d)/(d x) [(4 - (x^2)/(25))^(- (1)/(2))]

= - (1)/(25) (4 - (x^2)/(25))^(- (1)/(2)) + (- (x)/(25)) * [- (1)/(2) (4 - (x^2)/(25))^(- (3)/(2)) * (- (2 x)/(25))]

= - (1)/(25) (4 - (x^2)/(25))^(- (1)/(2)) - (x^2)/((25)^2) (4 - (x^2)/(25))^(- (3)/(2))

Passo 4

Para simplificar essa expressão ao máximo, teremos:

= - (1)/(25 (4 - (x^2)/(25))^((1)/(2))) - (x^2)/((25)^2 (4 - (x^2)/(25))^((3)/(2)))

Multiplicando o primeiro termo no numerador e no denominador por (4 - (x^2)/(25)) :

= - (1 * (4 - (x^2)/(25)))/(25 (4 - (x^2)/(25))^((1)/(2)) * (4 - (x^2)/(25))) - (x^2)/((25)^2 (4 - (x^2)/(25))^((3)/(2)))

= - (4 - (x^2)/(25))/(25 (4 - (x^2)/(25))^((3)/(2))) - (x^2)/((25)^2 (4 - (x^2)/(25))^((3)/(2)))

= - (4)/(25 (4 - (x^2)/(25))^((3)/(2))) + (x^2)/((25)^2 (4 - (x^2)/(25))^((3)/(2))) - (x^2)/((25)^2 (4 - (x^2)/(25))^((3)/(2)))

= - (4)/(25 (4 - (x^2)/(25))^((3)/(2)))

Passo 5

Como definimos anteriormente:

y = (4 - (x^2)/(25))^((1)/(2))

Assim, ficamos com:

= - (4)/(25 y^3)

Passo 6

Prontinho, fizemos as duas derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 2 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

(d^2 y)/(d x^2) = - (4)/(25 y^3)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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