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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 27

27. Dada x^3 + y^3 = 1 , mostre que

(d^2 y)/(d x^2) = - (- 2 x)/(y^5)

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 2 precisamos ter em mente duas coisas:

1 - Teremos que fazer 2 derivadas. Uma da função dada e uma da que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 – Teremos que isolar o y na equação dada para obter uma dependência em x e assim realizar as derivadas. Assim teremos:

y = root(3)(1 - x^3) = (1 - x^3)^((1)/(3))

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

(d y)/(d x) = (d)/(d x) [(1 - x^3)^((1)/(3))]

= (1)/(3) (1 - x^3)^((- 2)/(3)) * ( - 3 x^2 )

= - x^2 (1 - x^3)^((- 2)/(3))

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso colchete.

(d)/(d x) [- x^2 (1 - x^3)^((- 2)/(3))] = (d)/(d x) (- x^2) * (1 - x^3)^((- 2)/(3)) + (- x^2) * (d)/(d x) [(1 - x^3)^((- 2)/(3))]

= - 2 x (1 - x^3)^((- 2)/(3)) + (- x^2) [- (2)/(3) (1 - x^3)^((- 5)/(3)) * (- 3 x^2)]

= - 2 x (1 - x^3)^((- 2)/(3)) - 2 x^4 (1 - x^3)^((- 5)/(3))

Passo 4

Para simplificar essa expressão ao máximo, teremos:

= - (2 x)/((1 - x^3)^((2)/(3))) - (2 x^4)/((1 - x^3)^((5)/(3)))

Multiplicando o primeiro termo no numerador e no denominador por ( 1 - x^3 ) :

= - (2 x ( 1 - x^3 ))/((1 - x^3)^((2)/(3)) * ( 1 - x^3 )) - (2 x^4)/((1 - x^3)^((5)/(3)))

= - (2 x - 2 x^4)/((1 - x^3)^((5)/(3))) - (2 x^4)/((1 - x^3)^((5)/(3)))

= - (2 x)/((1 - x^3)^((5)/(3)))

Passo 5

Como definimos anteriormente:

y = (1 - x^3)^((1)/(3))

Assim, ficamos com:

= - (2 x)/(y^5)

Passo 6

Prontinho, fizemos as duas derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 2 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

(d^2 y)/(d x^2) = - (2 x)/(y^5)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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