Dada

f x = 3 x + 2 s e x < 4 5 x + k s e 4 ≤ x

Ache o valor de k para o qual o lim x → 4 ⁡ f x existe.

Passo 1

Vamos lá pessoal.

Primeiro, temos que lembrar quando o limite existe. Lembram como vemos isso?

Vamos precisar ter os limites laterais iguais, beleza? Então no fundo temos que calcular os limites dessa função a direita e a esquerda de 4 .

Que se resume a:

lim x → 4 + ⁡ f x

lim x → 4 - ⁡ f x

Depois disso, se esses limites forem uma constante e elas forem iguais, ele irá existir.

Como ele quer que o limite exista, vamos achar os dois limites laterais e depois igualá-los.

Passo 2

Vamos começar com o limite pela direita:

lim x → 4 + ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores maiores de 4 .

Aqui vai ser 5 x + k .

Logo, vamos ter

lim x → 4 + ⁡ 5 x + k = 5 . 4 + k = 20 + k

Passo 3

Agora vamos fazer o limite pela esquerda:

lim x → 4 - ⁡ f x

Para isso, temos que pegar a expressão da função para valores menores de 4 .

Aqui vai ser 3 x + 2 .

Logo, vamos ter

lim x → 4 - ⁡ 3 x + 2 = 3 . 4 + 2 = 12 + 2 = 14

Passo 4

Beleza, agora que temos os dois limites laterais, para que o limite exista, os dois valores que achamos nos passos anteriores devem ser iguais.

Então, temos que fazer

20 + k ⏟ l i m i t e   p e l a   d i r e i t a = 14 ⏟ l i m t i e   p e l a   e s q u e r d a

20 + k = 14

k = 14 - 20

k = - 6

Resposta

k = - 6

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