Enunciado
Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 104
104. Formule um exemplo de uma função descontínua para a qual o teorema do valor médio para integrais (a) não se aplica e (b) se aplica.
Passo 1
Um exemplo clássico de uma função descontínua é uma função definida por partes. Então para formular o exemplo da questão serial ideal pegar alguma função definida por partes. E o que temos que concluir a partir disso é que existe um número c num intervalor fechado [a,b] tal que
Passo 2
Letra (a)
Tome e escolha um invervalo qualquer que contenha o seu ponto de descontinuidade.
Passo 3
Utilizando o intervalo fechado [-1,1], podemos calcular a integral da função como:
Portanto, temos que:
Assim, não existe um número c neste intervalo tal que . Logo, para essa função o teorema do valor médio para integrais não se aplica.
Passo 4
Letra (b)
Tome e escolha um invervalo qualquer que contenha o seu ponto de descontinuidade.
Passo 5
Utilizando o intervalo fechado [-1,1], podemos calcular a integral da função como:
Portanto, temos que:
Assim, se c = 0, então e a conclusão do teorema do valor médio para integrais é verdadeira.
Resposta
Demonstração.