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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 19

Dado que f é uma função diferenciável f 2 ,   5 = 6 , f x 2 ,   5 = 1 e f y 2 ,   5 = - 1 , use uma aproximação linear para estimar f ( 2,2 ,   4,9 ) .

Passo 1

Show de bola, galera. Questãozinha de aproximação linear, vamos lá!

A questão nos dá alguns dados de uma função f e pede para encontrarmos f ( 2,2 ,   4,9 ) usando uma aproximação linear!

Mas o que é a aproximação linear? É uma aproximação da função que serve para valores de x ,   y próximos de um ponto! Nesse caso a questão nos dá os dados no ponto a , b = ( 2 ,   5 ) .

E como encontramos essa aproximação linear? Simples! Com a seguinte equação geral!

L ( x , y ) = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

Onde para pontos próximos de a ,   b podemos considerar

L ( x , y ) ≈ f x , y

Resumo da ópera: Vamos encontrar L ( x , y ) para a função f no ponto ( 2 ,   5 ) e em seguida vamos aplicar o ponto ( 2,2 ,   4,9 ) em L !

Passo 2

A fórmula da aproximação linear é

L ( x , y ) = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

E como a , b = ( 2 ,   5 ) , temos então pelo enunciado

f 2 ,   5 = 6

f x 2 ,   5 = 1

f y 2 ,   5 = - 1

Substituindo esses valores na fórmula ficamos com

L x , y = f 2 ,   5 + f x 2 ,   5   x - 2 + f y 2 ,   5   ( y - 5 )

Ou ainda

L x , y = 6 + 1 ⋅   x - 2 - 1 ⋅   ( y - 5 )

De forma que

L x , y = 6 + x - 2 - y + 5

L x , y = x - y + 9

Passo 3

A questão quer o ponto f ( 2,2 ,   4,9 ) , de forma que x = 2,2 e y = 4,9

Dessa forma

L 2,2 ,   4,9 = 2,2 - 4,9 + 9 = 6,3

Assim

f ( 2,2 ,   4,9 ) ≈ 6,3

Resposta

f ( 2,2 ,   4,9 ) ≈ 6,3

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