Exercícios de Aproximação Linear de uma Função de Várias Variáveis - Lista de Exercícios Resolvida

1. Determine a equação, na forma , do plano tangente ao gráfico de no ponto .
2. Calcule um valor aproximado para

Seja .

1. Calcule um valor aproximado para a variação em , quando se passa de e para e
2. Calcule um valor aproximado para correspondente a e

Encontre a linearização da função

em

Então encontre um limitante superior para a magnitude do erro na aproximação , sabendo que

(Use e para estimar ).

Seja função diferenciável em toda reta. Seja onde é constante dada. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de e então mostre que satisfaz a equação de transporte .

Seja , onde é diferenciável no plano e são deriváveis num intervalo

(b) Derive para os casos:

onde , .

Considere a função Utilizando a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto . 0 valor aproximado de é:

3. 3.1

Seja .

1. Calcule um valor aproximado para a variação em , quando se passa de e para e
2. Calcule um valor aproximado para correspondente a e

Considere a função

a) Encontre o domínio e a imagem de .

b) Encontre a taxa máxima de variação da função no ponto . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.

c) Identifique e esboce a superfície de nível que passa pelo ponto . Esboce o vetor gradiente no mesmo ponto . Qual é a relação geométrica entre a superfície de nível e o vetor gradiente?

d) Encontre a linearização de em , use-a para calcular aproximadamente e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar .

Considere a função

a) Calcule , e explique as suas interpretações geométricas.

b) Encontre a taxa máxima de variação da função no ponto . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.

c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .

d) Encontre a linearização de em , use-a para calcular aproximadamente e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar .

Considere a função

1. Calcule e e explique as suas interpretações geométricas
2. Encontre a taxa máxima de variação da função no ponto . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre
3. Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto
4. Encontre a linearização de em , use-a para calcular aproximadamente e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar .

Considere a função

a) Calcule , e explique as suas interpretações geométricas.

b) Encontre a taxa máxima de variação da função no ponto . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.

c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .

d) Encontre a linearização de em , use-a para calcular aproximadamente e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar .

Determine a aproximação linear da função em , e use-a para calcular aproximadamente

Considere a função:

c) Encontre uma boa aproximação linear para o valor da função no ponto

Considere a função

a) Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto

b) Determine uma equação da reta normal ao plano tangente do item anterior no ponto

c) Use uma aproximação linear para calcular o valor aproximado de se e

1. Encontre uma aproximação linear para .
2. Seja uma função diferenciável de uma variável e seja . Mostre que .

Encontre a equação do plano tangente à superfície

No ponto :

1. Usando a equação na forma
2. Admitindo que a equação dada define implicitamente como função de e .
3. Encontre a aproximação linear para no ponto . A aproximação encontrada é boa?

Seja

Com

Seja o plano tangente ao gráfico de no ponto .

1. Escreva o vetor , normal ao gráfico de no ponto . Escreva a equação cartesiana de .
2. Determine dois vetores tangentes a , sendo pertencente ao plano e pertencente ao plano .
3. Exiba uma parametrização para
4. Usando obrigatoriamente aproximação linear, calcule o valor aproximado de

Considere a função

1. Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto
2. Use uma aproximação linear para calcular o valor aproximado de se e

Usando uma aproximação linear, temos que o valor estimado de

É:

Questão 1: Considere a função .

1. Encontre a linearização de no ponto .
2. Use o resultado do item anterior para encontrar um valor aproximado para

Seja uma função de duas variáveis.

c) Encontre a linearização L(x, y) da função f (x, y) no ponto (1, 0).

Considere a função

a) Encontre a aproximação linear de no ponto .

b) Utilize para encontrar uma aproximação para .

c) Determine os pontos , , tais que .

Considere a função .

1. Encontre a linearização da função no ponto
2. A linearização encontrada no item anterior é uma boa aproximação para a função no ponto dado ?

Usando aproximação linear, determine o valor aproximado de .

Encontre uma aproximação linear para:

Encontre uma aproximação linear para:

(Cap 14.4 – Ex 35) Utilize diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com de diâmetro e de altura se a espessura da folha de estanho for de .

(Cap 14.4 – Ex 31) Se e varia de a , compare os valores de e .

(Cap 14.4 – Ex 41) Um modelo para a área da superfície do corpo humano é dado por , onde é o peso (em quilogramas), é a altura (em centímetros) é medida em centímetros quadrados. Se os erros nas medidas de e forem no máximo de , use diferenciais para estimar a porcentagem de erro máxima na área da superfície calculada.

(Cap 14.4 – Ex 23) Utilize a tabela do Exemplo 3 para encontrar a aproximação linear da função humidex quando a temperatura está próxima de e a umidade relativa do ar é de aproximadamente . Estime também o humidex quando a temperatura é de e a umidade relativa, .

(Cap 14.4 – Ex 11) Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização da função naquele ponto.

Dada

1. Determine o plano tangente ao gráfico de pela origem.
2. Determine se a aproximação do plano tangente é uma boa aproximação na proximidade de

Considere a função

1. A função é diferenciável no ponto ? Justifique
2. Encontre a linearização de no ponto

Considere a função

1. Obtenha uma equação para o plano tangente ao gráfico de no ponto
2. Use uma linearização conveniente de para obter um valor aproximado de

Se está próximo de , então

Escolha uma opção:

( ) Verdadeiro

( ) Falso

Seja f uma função diferenciável. Sabendo que e , então é aproximadamente:

(Cap 14.4 – Ex 34) Use diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de de altura e de diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui de espessura e o das laterais tem espessura de .

26 Considere a função cuja lei é dada por .

(b) Obtenha o valor aproximado de . Faça a análise sem o uso da calculadora e depois use-a para comparar seu resultado.

18. Verificar se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

(e)

Encontre uma aproximação linear para: