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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 55

55- Dado que n é um número positivo, mostre que

∫ 0 π 2 s e n n x   d x = ∫ 0 π 2 cos n ⁡ x   d x

Usando uma identidade trigonométrica e fazendo uma substituição. Não tente calcular as integrais.

Passo 1

Vamos começar fazendo uma substituição:

u = π 2 - x   → d u = - d x

Consequentemente,

x = π 2 - u

Lembrando que:

Quando x = 0 ,   u = π 2 e, se x = π 2 ,   u = 0 . Sacou ???

Substituindo na nossa integral, temos:

∫ 0 π 2 s e n n x   d x = ∫ π 2 0 sen n ⁡ π 2 - u - d u

= - ∫ π 2 0 sen n ⁡ π 2 - u   d u  

Galerinha aqui, nós, intuitivamente, vamos abrir na identidade de subtração de arcos no seno:

s e n π 2 cos ⁡ u - s e n   u cos ⁡ π 2 = cos ⁡ u  

Assim,

∫ 0 π 2 co s n u  ⁡ d u  

Vocês perceberam alguma coisa diferente nessa integral em relação a anterior ??? Fora nós termos trocado o sen n ⁡ π 2 - u     pelo cos n ⁡ u , claro hahahah.

Acho que agora você já deve ter reparado que nós invertemos os extremos da integral. Ué... Pode isso ??? Claro que sim !!!! Sempre tem uma propriedade que justifica isso:

∫ a b f x d x =   - ∫ b a f x   d x

Passo 2

Caraaaa, como nossos extremos são os mesmo, podemos voltar para a incógnita original:

∫ 0 π 2 co s n u  ⁡ d u =   ∫ 0 π 2 co s n x  ⁡ d x  

Portanto,

∫ 0 π 2 s e n n x   d x = ∫ 0 π 2 cos n ⁡ x   d x

Resposta

Demonstração acima.

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