31-50. Calcule as integrais por qualquer método.

48. ∫ 1 2 1 x . 4 - x d x

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar o método de substituição simples, ok? A nossa integral é:

∫ 1 2 1 x . 4 - x d x

A substituição que iremos utilizar é:

u = x

Encontrando a relação entre d x e d u para podermos substituir na nossa integral original:

d u = 1 2 x d x

∴ 2 d u = 1 x d x

Beleza, encontramos u e d u , certo? Substituindo os resultados na nossa integral teremos:

∫ 1 2 1 x . 4 - x d x = 2 ∫ 1 2 d u 4 - u 2

Show, agora que simplificamos ao máximo nossa integralzinha em termos de u , vamos resolver isso aí!

Passo 2

Antes de resolvermos a integral, vamos alterar os intervalos de integração utilizando a expressão u x que encontramos no passo anterior, se liga:

u = x

u 2 = 2

u 1 = 1

Logo:

2 ∫ 1 2 d u 4 - u 2 = 2 ∫ 1 2 d u 4 - u 2

Passo 3

Ok, agora sim resolvendo nossa integral, teremos:

2 ∫ 1 2 d u 4 - u 2 = 2 a r c   s e n u 2 2 1

Fazendo F b - F a , no qual a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior, teremos:

2 ∫ 1 2 d u 4 - u 2 = 2 a r c   s e n 2 2 - a r c   s e n 1 2

∴ ∫ 1 2 1 x . 4 - x d x = π 6

E esse é o nosso resultado, pessoal!

Resposta

∫ 1 2 1 x . 4 - x d x = π 6

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