Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.4 - Ex. 19
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Opa, bora lá! A gente tem que demonstrar que:
Mas já que a gente precisa fazer essa demonstração usando a definição de limite, vamos relembrar dessa definição.
Quando a gente tá falando de limite, não estamos no ponto , nós estamos beeem pertinho dele. Mas sobre isso a gente já tá bem tranquilo ne?
Ta mas quão próximo de deverá estar para que difira de por menos que uma tolerância bem pequena?
Em palavras mais fáceis e menos assustadoras, a gente tá dizendo que pra existir esse limite:
A gente precisa provar o seguinte:
Que dado um pequeno intervalo ao redor de , há de conseguir achar um valorzinho pra , que qualquer dentro desse outro intervalinho retorne na função um valor dentro do primeiro intervalo .
Na prática, você precisa dessas duas inequações que aparecem ali dentro da caixinha rosa:
se então
Agora aplicando isso na nossa expressão:
se então
Agora nós precisamos achar que atenda essas condições!
Passo 2
Bem, temos que:
Vamos reorganizar:
Opa isso aqui tá bem parecido com aquilo que a gente queria encontrar hein, olha só!
A gente tava procurando um valor que atendesse à seguinte inequação:
Então se :
Passo 3
Agora vamos fazer o caminho contrário.
Isso nos dá que se nós escolhemos , e substituirmos seu valor, temos que
Pronto, nosso valor qualquer dentro do intervalinho retornou na função um valor dentro do primeiro intervalo .
Uhuuulll!
Provamos que o limite existe!
Prontinho!
Resposta
Demonstração.