Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.1 - Ex. 12
Nos exercícios de 1 a 22 são dados bem como .
- Usando argumentos similares àqueles dos Exemplos 1 e 2, determine um para o dado, tal que se então ;
- Usando as propriedades das desigualdades, determine um , tal que a afirmativa seja verdadeira para o valor dado de .
12)
Passo 1
Faaaaala galerinha, animados?
Olha, respirem bem fundo antes de começar porque esta aqui é um pouquinho confusa de entender, mas com calma e atenção vocês vão tirar de leetra !!
Na letra a do exercício nós queremos obter um valor positivo para a diferença de capaz de permitir um erro menor que certo? Enquanto na letra b vamos comprovar os resultados obtidos na letra a, e para isso usaremos as propriedades da desigualdade.
Se já sabemos isso vamos definir os valores de .
Vocês se lembram como escrevemos o limite?
Comparando com o que nos foi dado:
Sendo assim:
Substituindo nossos dados na definição dada na letra (a):
Bom, ainda não chegamos no que queríamos, certo?
Passo 2
Para resolver a letra (a) precisamos notar que queremos obter valores de que satisfaçam:
De acordo com as propriedades de módulo:
Quando nós resolvemos achamos dois valores possíveis para as funções, ok?
Se temos dois valores diferentes para a função também teremos dois valore para o
Para achar o , basta substituirmos os valores de na equação que achamos no Passo 1:
Para :
Para :
Então:
O próximo passo é comprovar este resultado através da letra b.
Passo 3
Na letra b, vamos utilizar as propriedades da desigualdade para obtermos .
Primeiro, nós já sabemos que:
E também sabemos que a função será:
Se nós substituirmos:
Usando as propriedades do quadrado perfeito, vamos reescrever:
Substituindo:
Pela definição de módulo:
Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:
Ainda não sabemos nada sobre , certo? Queremos descobrir isso de novo aqui para comprovar a letra (a), ok?
Vamos assumir que :
Removendo o módulo:
A partir desta desigualdade podemos chegar a somando 2 aos seus termos:
Então:
Sendo assim,
Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para é .
Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição sendo assim podemos assumir que :
Removendo o módulo:
A partir desta desigualdade podemos chegar a somando 2 aos seus termos:
Então:
Sendo assim,
Esta afirmativa indica que uma escolha adequada para é .
Para equações não lineares é comum que o valor obtido para o pela desigualdade seja menor do que os obtidos diretamente.