Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 2.4 - Ex. 21
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha.
Bom, nessa questão precisamos demostrar o limite
usando a definição. Para isso vamos fazer uso de e .
Na prática nunca usamos a definição de limite para calculá-los e em geral isso pode ser muito trabalhoso. Todavia, essa questão solicita que façamos isso para demonstrar o valor de um limite.
A definição precisa de limite diz que
Se
“Para todo , existe um tal que se , então ”
Eu sei que parece complicado, realmente é, mas o que devemos fazer é para um dado número , achar um outro número (que será dado em função de ) que satisfaça a relação dada.
Dado que , nós precisamos achar , tal que se satisfaça a expressão abaixo:
Vem comigo que vou te ajudar no passo a passo a entender melhor essa questão.
Passo 2
Precisamos demonstrar que:
Perceba que nesse limite temos tendendo a . Assim, dado que , nós precisamos achar , tal que se:
Então temos que:
Agora nos resta resolver isso aí.
Passo 3
Temos:
Que se torna:
E tirando o mmc, ficamos com:
Como estamos em módulo, podemos colocar em evidência, e teremos:
E assim, chegamos a:
E lembra que lá atrás tínhamos
Então,
Isso nos dá que se nós escolhemos .
Passo 4
Agora vamos substituirmos esse valor e teremos
com
E voltando
Portanto, temos o limite
Pelo limite da definição.
Resposta
Demonstração.