Encontre os limites quando x → ±∞ . Use essa informação, bem como as interseções com os eixos, para fazer um esboço do gráfico.

y = x^2 - x^6

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O objetivo do exercício é calcular o limite de uma função dada conforme x tende para o infinito positivo e negativo.

A função fornecida pode ser escrita como:

[ y x = x 4 1 - x 2 ]

Observe que quando x é um número muito grande e positivo, o fator x 4 se torna muito grande e positivo, enquanto 1 - x 2 se torna negativo e, portanto, muito pequeno.

Isso significa que a função se torna um número muito grande e negativo quando x se aproxima do infinito positivo, ou seja:

[ lim x → ∞ ⁡ y x → - ∞ ]

Da mesma forma, a análise pode ser feita para x se aproximando do infinito negativo, resultando em:

[ lim x → - ∞ ⁡ y x → - ∞ ]

Passo 2

Agora, considere o caso em que x é muito negativo. Nesse caso, o fator x 4 se torna muito grande e positivo, enquanto o fator 1 - x 2 se torna muito negativo.

Isso significa que a função se torna muito negativa quando x se aproxima do negativo infinito, ou seja:

[ lim x → - ∞ ⁡ y x → - ∞ ]

Passo 3

Agora vamos calcular os interceptos da função fornecida.

O intercepto y ocorre quando x = 0 .

Para encontrar o intercepto y , vamos substituir x = 0 na função fornecida.

[ y 0 = 0 4 1 - 0 2 = 0 1 = 0 ]

Assim, obtemos o intercepto y da função fornecida em 0 , y 0 = 0,0 .

Passo 4

Agora, observe que o intercepto x da função ocorre quando y = 0 .

Para encontrar o intercepto x , resolvemos y ( x ) = 0 para x .

[ y x = x 4 1 - x 2 ]

[ x 4 1 - x 2 = 0 ]

[ x 4 = 0 ]

[   x   =   0   ]

[ ou ]

[ 1 - x 2 = 0 ]

[ x 2 = 1 ]

[   x   =   ± 1   ]

Portanto, a função tem interceptos x em 0 ,   0 , - 1 ,   0 e 1 ,   0 .

Agora, observe que o intercepto x da função ocorre quando y = 0 .

Para encontrar o intercepto x , resolvemos   y x =   0   para x .

[ y x = x 4 1 - x 2 ]

[ x 4 1 - x 2 = 0 ]

[ x 4 = 0 ]

[   x   =   0   ]

[ ou ]

[ 1 - x 2 = 0 ]

[ x 2 = 1 ]

[   x   =   ± 1   ]

Portanto, a função tem interceptos x em 0,0 , - 1,0 e 1,0 .

Passo 5

Usando essa informação, vamos esboçar a função fornecida.

A função cruza o eixo x nos interceptos x , ou seja, em 0,0 , - 1,0 e 1,0 , e cruza o eixo y   no intercepto (   y   ) , que é em 0,0 .

A função se aproxima de ( - ∞ ) tanto da esquerda quanto da direita de x , então mantenha o gráfico para baixo para x grandes e positivos e negativos.

Resposta

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