Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.4 - Ex. 29
Demonstre cada afirmação usando a definição , de limite.
Passo 1
Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te auxiliando nesta resolução.
Na prática nunca usamos a definição de limite para calculá-los e em geral isso pode ser muito trabalhoso. Todavia, essa questão solicita que façamos isso para demonstrar o valor de um limite. A definição precisa de limite diz que se
“Para todo , existe um tal que se , então ”
Eu sei que parece complicado, realmente é, mas o que devemos fazer é para um dado número , achar um outro número (que será dado em função de ) que satisfaça a relação dada.
Passo 2
Neste passo vamos conjecturar um valor para como se estivéssemos fazendo um esboço.
Seja um número dado, devemos achar tal que
se então
Como neste caso , e , devemos achar tal que
se então
Assim, devemos achar tal que
se então
Devemos agora procurar uma relação para que satisfaça o exposto acima. Notemos que
Assim, devemos ter que se , então . Tomaremos então , ou ainda, . No próximo passo mostramos que essa escolha é suficiente para demonstrar o limite.
Passo 3
Se tomarmos , temos que se , então . Provamos assim que o limite existe e vale .
Resposta
Demonstração.