Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.1 - Ex. 44

Prove que , se a for qualquer número negativo.

Passo 1

Neste exercícios precisamos provar que é o limite da função quando se aproxima de . Para comprovar o limite temos que ter em mente a Definição 2.1.1 e mostrar que para todo existe um . Para começar vamos definir os valores de . Dada a definição de limite:

Assumimos que:

Sendo assim:

Para encontrar um o primeiro passo é substituir na desigualdade:

Passo 2

Substituindo :

Fatorando:

Pela definição de módulo:

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição a sendo assim podemos assumir que :

Removendo o módulo:

A partir desta desigualdade podemos chegar a subtraindo aos seus termos:

Se então o intervalo será negativo e para este caso:

Sabendo que o módulo de um número negativo é igual ao positivo:

Então:

Então

Substituindo :

Isso significa que devemos impor sobre duas restrições, . Assim sendo, ambas as restrições estarão satisfeitas de tomarmos o menor desses dois números, em símbolos

Assim, estabelecemos que tendo escolhido para todo a seguinte afirmativa é verdadeira:

então

Isso prova que

Se então o intervalo superior será positivo e para este caso:

Então:

Então

Substituindo :

Isso significa que devemos impor sobre duas restrições, . Assim sendo, ambas as restrições estarão satisfeitas de tomarmos o menor desses dois números, em símbolos