Prove que lim x → a ⁡ x ² = a ² , se a for qualquer número negativo.

Passo 1

Neste exercícios precisamos provar que a ² é o limite da função x ² quando x se aproxima de a . Para comprovar o limite temos que ter em mente a Definição 2.1.1 e mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 . Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = x ²

a = - a

L = - a 2 = a ²

Sendo assim:

0 < x + a < δ

f x - a ² < ϵ

Para encontrar um δ > 0 o primeiro passo é substituir f x na desigualdade:

Passo 2

Substituindo f x :

x ² - a ² < ϵ

Fatorando:

( x - a ) ( x + a ) < ϵ

Pela definição de módulo:

x - a | | ( x + a ) < ϵ

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x + a < δ

Em seguida precisamos obter uma desigualdade para o termo ( x - a ) .   Essa desigualdade poderá ser obtida impondo uma restrição a δ , sendo assim podemos assumir que δ = 1 :

x + a < 1

Removendo o módulo:

- 1 < x + a < 1

A partir desta desigualdade podemos chegar a ( x + a ) subtraindo 2 a aos seus termos:

- 2 a - 1 < x - a < - 2 a + 1

Se a > 1 2 , então o intervalo será negativo e para este caso:

| - 2 a + 1 | < | x - a | < | - 2 a - 1 |

| - 2 a + 1 | < | x - a | < | - ( 2 a + 1 ) |

Sabendo que o módulo de um número negativo é igual ao positivo:

| - 2 a + 1 | < | x - a | < | ( 2 a + 1 ) |

Então:

| x - a | < 2 a + 1

Então

| x - a | < 2 a + 1       e       x + a < δ

Substituindo :

x - a | | ( x + a ) = δ . ( 2 a + 1 ) < ϵ

δ < ϵ 2 a + 1

Isso significa que devemos impor sobre δ duas restrições, δ ≤ 1   e δ ≤ ϵ 2 a + 1 . Assim sendo, ambas as restrições estarão satisfeitas de tomarmos o menor desses dois números, em símbolos δ = min ⁡ ( 1 , ϵ 2 a + 1 )

Assim, estabelecemos que tendo escolhido δ = min ⁡ ( 1 , ϵ 2 a + 1 ) , para todo   ϵ > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira:

se

0 < x + a < δ

então

f x - a ² < ϵ

Isso prova que

lim x → a ⁡ x ² = a ²

Se a < 1 2 , então o intervalo superior será positivo e para este caso:

| - 2 a - 1 | < | x - a | < | - 2 a + 1 |

Então:

x - a < - 2 a + 1

Então

x - a < - 2 a + 1       e       x + a < δ

Substituindo :

x - a | | ( x + a ) = δ . ( - 2 a + 1 ) < ϵ

δ < ϵ - 2 a + 1

Isso significa que devemos impor sobre δ duas restrições, δ ≤ 1   e δ ≤ ϵ - 2 a + 1 . Assim sendo, ambas as restrições estarão satisfeitas de tomarmos o menor desses dois números, em símbolos δ = min ⁡ ( 1 , ϵ 2 a + 1 )

Assim, estabelecemos que tendo escolhido δ = min ⁡ ( 1 , ϵ - 2 a + 1 ) , para todo   ϵ > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira:

se

0 < x + a < δ

então

f x - a ² < ϵ

Isso prova que

lim x → a ⁡ x ² = a ²

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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