Demonstre que, se a n ≥ 0 e ∑ a n convergir, então ∑ a n 2 também converge.

Se a n ≥ 0 e ∑ a n converge, então ∑ a n 2 também converge.

Enunciado

E aí, galerinha! Como estão?

Primeiramente, vamos pensar o seguinte, se tivermos uma soma , onde , podemos dizer que

Isso porque se distribuirmos a multiplicação

No lado esquerdo, temos a mais que no direito, e como e são positivos, o lado esquerdo fica maior.

Apesar de o exemplo ter sido com termos, com quantos termos for podemos afirmar que o quadrado da soma é maior que a soma dos quadrados, ou seja

Então, já que nossa série converge, podemos falar que o limite se sua soma é

Sendo que é um número finito e positivo, logo também é finito, pois o quadrado de um número finito dá um número finito.

Analisando a comparação

Podemos substituir

E do lado direito temos a série , logo

Então temos que é menor que um número finito, e como todos os termos da série são positivos, pelo teste da comparação, essa série converge.

Se e converge, então também converge.