Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 39
Demonstre que, se e convergir, então também converge.
Passo 1
E aí, galerinha! Como estão?
Primeiramente, vamos pensar o seguinte, se tivermos uma soma , onde , podemos dizer que
Isso porque se distribuirmos a multiplicação
No lado esquerdo, temos a mais que no direito, e como e são positivos, o lado esquerdo fica maior.
Apesar de o exemplo ter sido com termos, com quantos termos for podemos afirmar que o quadrado da soma é maior que a soma dos quadrados, ou seja
Passo 2
Então, já que nossa série converge, podemos falar que o limite se sua soma é
Sendo que é um número finito e positivo, logo também é finito, pois o quadrado de um número finito dá um número finito.
Analisando a comparação
Podemos substituir
E do lado direito temos a série , logo
Então temos que é menor que um número finito, e como todos os termos da série são positivos, pelo teste da comparação, essa série converge.
Resposta
Se e converge, então também converge.