Mostre que, se e for convergente, então é convergente.

E aí, explorador matemático! Pronto para desvendar os segredos dessa questão desafiadora? Estou aqui para te ajudar!

Queremos mostrar que se se e for convergente, então é convergente.

Vamos utilizar o Teste da Comparação para comparar a série com a série .

Antes de iniciar a solução, é fundamental compreender os conceitos envolvidos. Neste caso, precisamos entender o Teste da Comparação de Limite, que é uma ferramenta usada para determinar a convergência de séries.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries: uma que já conhecemos a convergência (chamaremos de ) e outra que queremos investigar (chamaremos de ). Para isso calcularemos o seguinte limite:

Agora, se for um número finito e maior que , então:

1. Se converge, então também converge.
2. Se diverge, então também diverge.

Ou seja, se o limite for um número finito e positivo, podemos fazer uma previsão sobre a convergência das séries.

Mas e se o limite não existir ou der infinito? Bem, aí a situação fica um pouco mais complicada. Se o limite não existir ou for finito, não podemos fazer uma afirmação definitiva sobre a convergência das séries. Precisaremos de mais informações para tirar uma conclusão.