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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 1.1 - Ex. 4

Desenhe um campo de direções para equação diferencial dada. Baseado no campo de direções, determine o comportamento de y quanto t   →   ∞ . Se esse comportamento depender do valor inicial de y em t = 0 , descreva essa dependência.

y ' = - 2 y - 1

Passo 1

Campos de direções são ferramentas valiosas no estudo de soluções de equações diferenciais da forma

d y d t = f t , y

Em que f é uma função dada de duas variáveis, t   e   y , algumas vezes chamada de função taxa. Um campo de direções pode ser constuido calculando f em cada ponto de uma malha retangular. Em cada ponto da malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente angular é o valor da função f naquele ponto.

Um campo de direções fornece uma boa ideia do comportamento global das soluções de uma equação diferencial.

Para construir campos de direções não precisamos resolver nossa EDO, basta calcular a função dada f ( t , y )   muitas vezes.

Passo 2

Vemos que para - 2 y - 1 = 0   ⇒ y = - 1 2 temos d y d t = 0 e portanto nesse ponto temos segmentos horizontais em nossa malha, para valores grandes de y temos f ( t , y )   negativo,ou seja, coeficiente angular d y d t negativo e para valores pequenos de y segue que, o coeficiente angular d y d t é positivo calculando f t , y em mais alguns pontos temos o seguinte gráfico

Passo 3

Percebemos que com o aumento da variável t todas as linhas estão convergindo para - 1 2

Resposta

t → ∞   ⇒ y   c o n v e r g e   p a r a - 1 2  

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