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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.7 - Ex. 5b

Determinar uma equação vetorial da reta normal às seguintes superfícies nos pontos indicados.

b) r → u ,   v = u 2 - 1 ,   u . cos ⁡ v ,   u . s e n   ( v ) ; P ( 4,1 , 2 )

Passo 1

Bom gente, já sabemos que a equação da reta normal é dada por:

r → u 0 , v 0 + t ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0

O vetor posição será:

r → u 0 , v 0 = ( 4,1 , 2 )

Mas ainda precisamos de ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 . E como?

Vamos começar achar u 0 e v 0 :

x = u 2 - 1

y = u . cos ⁡ v

z = u . s e n   ( v )

Substituindo os valores do ponto:

x = u 2 - 1 = 4 → u = 5

y = u . cos ⁡ v = 1 → cos ⁡ ( v ) = 1 5

z = u . s e n   v = 2 → s e n   v = 2 5

v = 0,352 π

Passo 2

Na curva u nós temos:

r → u . 0,352 π = u 2 - 1 ,   u . cos ⁡ 0,352 π ,   u . s e n   ( 0,352 π )

r → u . 0,352 π = u 2 - 1 ,   u 5 ,   2 u 5

Então:

∂ r → ∂ u P = 2 u ,   1 5 ,   2 5

Substituindo u:

∂ r → ∂ u P = 2 5 ,   1 5 ,   2 5

Para a v-curva, teremos:

r → 5 . v = 5 2 - 1 ,   5 cos ⁡ v ,   5 s e n   ( v )

r → 5 . v = 4 ,   5 cos ⁡ v ,   5 s e n   ( v )

Então:

∂ r → ∂ v P = ( 0 ,   - 5 sen ⁡ v ,   5   cos ⁡ v )

Substituindo o v:

∂ r → ∂ v P = ( 0 ,   - 2 ,   1 )

Passo 3

Para finalizar:

∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = 2 5 ,   1 5 ,   2 5 × ( 0 ,   - 2 ,   1 )

Para resolver multiplicações deste tipo podemos usar um macete:

a 1 , a 2 ,   a 3 × b 1 , b 2 ,   b 3 = ( a 2 b 3 -   a 3 b 2 ,     a 3 b 1 -   a 1 b 3 ,     a 1 b 2 -   a 2 b 1 )

Então:

2 5 ,   1 5 ,   2 5 × ( 0 ,   - 2 ,   1 ) = 1 5 × 1 - 2 5 × - 2 ,     2 5 × 0 -   2 5 × 1 ,     2 5 × - 2 -   1 5 × 0

= 5 ,   - 2 5 ,   - 4 5

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = 5 ,   - 2 5 ,   - 4 5

Colocando nossos dados na equação da reta normal:

4,1 , 2 + t 5 ,   - 2 5 ,   - 4 5

= ( 4 + 5 t ,     1 - 2 5 t ,     2 - 4 5 t )

E terminamos mais uma galerinha !!

Resposta

( 4 + 5 t ,     1 - 2 5 t ,     2 - 4 5 t )

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