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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.7 - Ex. 5a

Determinar uma equação vetorial da reta normal às seguintes superfícies nos pontos indicados.

  1. r → u ,   v = u 2 + v 2 - 1 ,   u ,   v ; P ( 4,1 , 2 )

Passo 1

Bom gente, já sabemos que a equação da reta normal é dada por:

r → u 0 , v 0 + t ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0

O vetor posição será:

r → u 0 , v 0 = ( 4,1 , 2 )

Mas ainda precisamos de ∂ r → ∂ u × ∂ r → ∂ v u 0 , v 0 . E como?

Vamos começar achar u 0 e v 0 :

x = u 2 + v 2 - 1

y = u

z = v

Substituindo os valores do ponto:

y = u = 1

z = v = 2

Passo 2

Na curva u nós temos:

r → u . 2 = u 2 + 2 2 - 1 ,   u ,   2

r → u . 2 = u 2 + 3 ,   u ,   2

Então:

∂ r → ∂ u P = 2 u ,   1 ,   0

Substituindo u:

∂ r → ∂ u P = 2 ,   1 ,   0

Para a v-curva, teremos:

r → 1 . v = ( 1 2 + v 2 - 1 ,   1 ,   v )

r → 1 . v = ( v 2 ,   1 ,   v )

Então:

∂ r → ∂ v P = ( 2 v ,   0 ,   1 )

Substituindo o v:

∂ r → ∂ v P = 4 ,   0 ,   1

Passo 3

Para finalizar:

∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = 2 ,   1 ,   0 × 4 ,   0 ,   1

Para resolver multiplicações deste tipo podemos usar um macete:

a 1 , a 2 ,   a 3 × b 1 , b 2 ,   b 3 = ( a 2 b 3 -   a 3 b 2 ,     a 3 b 1 -   a 1 b 3 ,     a 1 b 2 -   a 2 b 1 )

Então:

2 ,   1 ,   0 × 4 ,   0 ,   1 = 1 × 1 -   0 × 0 ,     0 × 4 -   2 × 1 ,     2 × 0 -   1 × 4

= 1 ,   - 2 ,   - 4

Sendo assim:

∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂ v P = 1 ,   - 2 ,   - 4

Colocando nossos dados na equação da reta normal:

4,1 , 2 + t 1 ,   - 2 ,   - 4

= ( 4 + t ,     1 - 2 t ,     2 - 4 t )

E terminamos mais uma galerinha !!

Resposta

( 4 + t ,     1 - 2 t ,     2 - 4 t )

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