Determine lim x->-∞ (2x + raiz(4x^2 + 3x - 2))

Passo 1

O primeiro passo consiste procurar reescrever a função que foi dada no enunciado. Faremos isso para que as contas fiquem mais simples e possamos usar coisas que já sabemos.

Como estamos lidando com uma função que possui raiz quadrada e o limite é de x → ∞ . Uma boa opção seria reescrever essa função através de uma racionalização, que consiste em multiplicar a função que temos por 1, entretanto esse 1 é representado de maneira conveniente. Exemplo:   a   - b = a   - b . 1 = a   - b . a + b a + b =   ( a   - b ) . ( a + b ) a + b

Então, se racionalizarmos a função temos,

l i m x → - ∞     2 x +   4 x 2 + 3 x - 2   = l i m x → - ∞     2 x +   4 x 2 + 3 x - 2 . 2 x -   4 x 2 + 3 x - 2   2 x -   4 x 2 + 3 x - 2 = l i m x → - ∞ 2 x +   4 x 2 + 3 x - 2   . 2 x -   4 x 2 + 3 x - 2     2 x -   4 x 2 + 3 x - 2

Passo 2

O segundo passo é reorganizar os termos que obtemos no passo 1, isso pode ser feito através da propriedade distributiva, ou chuveirinho como algumas pessoas conhecem, ou seja,

= l i m x → - ∞ 2 x +   4 x 2 + 3 x - 2   . 2 x -   4 x 2 + 3 x - 2     2 x -   4 x 2 + 3 x - 2

= l i m x → - ∞ 2 x 2 - 2 x . 4 x 2 + 3 x - 2   + 4 x 2 + 3 x - 2   .   2 x - ( 4 x 2 + 3 x - 2   ) 2 2 x -   4 x 2 + 3 x - 2

= l i m x → - ∞ x 2 + 3   2 - 2 x . 4 x 2 + 3 x - 2   + 2 x . 4 x 2 + 3 x - 2 - ( 4 x 2 + 3 x - 2   ) 2 2 x -   4 x 2 + 3 x - 2

=   l i m x → - ∞ 4 x 2   - ( 4 x 2 + 3 x - 2 ) 2 x -   4 x 2 + 3 x - 2   =   l i m x → - ∞ 4 x 2   - 4 x 2 - 3 x + 2 2 x -   4 x 2 + 3 x - 2 = l i m x → - ∞ 2 - 3 x 2 x -   4 x 2 + 3 x - 2

Passo 3

O terceiro passo é perceber que não há mais possibilidade de arrumar a nossa função, então isso significa que retornamos para um lugar conhecido, ou seja, vamos utilizar os truques de limite quando x → ∞ e função é uma divisão de polinômios. Isso quer dizer que vamos dividir em cima e em baixo, pelo termo de maior grau.

Então o limite ficará da forma:

= l i m x → - ∞ 2 x - 3 x x 2 x x - 4 x 2 + 3 x - 2 x   = l i m x → - ∞ 2 x - 3 x x 2 - 4 x 2 + 3 x - 2 x     = l i m x → - ∞ 2 x - 3 x x 2 - 4 x 2 + 3 x - 2 x 2   = l i m x → - ∞ 2 x - 3 x x 2 - 4 x 2 x 2 + 3 x x 2   - 2 x 2   = l i m x → - ∞ 2 x - 3 x x 2 -   4 + 3 x   - 2 x 2   =   l i m x → ∞ 2 x - 3 x x l i m x → - ∞ 2 -   4 + 3 x   - 2 x 2     = l i m x → ∞ 2 x - l i m x → ∞ 3 l i m x → - ∞ 2 - l i m x → - ∞ 4 + 3 x   - 2 x 2    

Passo 4

O terceiro passo é utilizar as propriedades de limites (soma, subtração, divisão...) que já sabemos, para com isso obter o resultado.

l i m x → ∞ 2 x - l i m x → ∞ 3 l i m x → - ∞ 2 - l i m x → - ∞ 4 + 3 x   - 2 x 2    

= l i m x → - ∞ 2 x - l i m x → - ∞ 3 l i m x → - ∞ 2 - l i m x → - ∞ 4 + 3 x   - 2 x 2 = l i m x → - ∞ 2 x - l i m x → - ∞ 3 l i m x → - ∞ 2 - l i m x → - ∞ 4 + l i m x → - ∞ 3 x - l i m x → - ∞ 2 x 2    

= - 3 2 - 4 + 0 - 0 -   = - 3 2 - 4 = - 3 2 - 2 = - 3 0 = ∞

Resposta

l i m x → - ∞     2 x +   4 x 2 + 3 x - 2   = ∞ .

OBS: a resposta apresentada no livro, é l i m x → - ∞   x 2 + 3   + x   = - 3 4 .

Isso ocorreu devido uma simplificação incorreta em uma das passagens, onde a fração foi dividida por - x e não por x .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados