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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 83

Determine underset(x -> - oo)(l i m) (2 x + sqrt(4 x^2 + 3 x - 2))

Passo 1

O primeiro passo consiste procurar reescrever a função que foi dada no enunciado. Faremos isso para que as contas fiquem mais simples e possamos usar coisas que já sabemos.

Como estamos lidando com uma função que possui raiz quadrada e o limite é de x -> oo . Uma boa opção seria reescrever essa função através de uma racionalização, que consiste em multiplicar a função que temos por 1, entretanto esse 1 é representado de maneira conveniente. Exemplo: sqrt(a) - b = (sqrt(a) - b) . 1 = sqrt(a) - b . [(sqrt(a) + b)/(sqrt(a) + b)] = (( sqrt(a) - b ) . ( sqrt(a) + b ))/(sqrt(a) + b)

Então, se racionalizarmos a função temos,

underset(x -> - oo)(l i m) (2 x + sqrt(4 x^2 + 3 x - 2)) = underset(x -> - oo)(l i m) [2 x + sqrt(4 x^2 + 3 x - 2)] . [(2 x - sqrt(4 x^2 + 3 x - 2))/(2 x - sqrt(4 x^2 + 3 x - 2))] = underset(x -> - oo)(l i m) ([2 x + sqrt(4 x^2 + 3 x - 2)] . [2 x - sqrt(4 x^2 + 3 x - 2)])/(2 x - sqrt(4 x^2 + 3 x - 2))

Passo 2

O segundo passo é reorganizar os termos que obtemos no passo 1, isso pode ser feito através da propriedade distributiva, ou chuveirinho como algumas pessoas conhecem, ou seja,

= underset(x -> - oo)(l i m) ([2 x + sqrt(4 x^2 + 3 x - 2)] . [2 x - sqrt(4 x^2 + 3 x - 2)])/(2 x - sqrt(4 x^2 + 3 x - 2))

= underset(x -> - oo)(l i m) ((2 x)^2 - (2 x . sqrt(4 x^2 + 3 x - 2)) + (sqrt(4 x^2 + 3 x - 2) . 2 x) - ( sqrt(4 x^2 + 3 x - 2) )^2)/(2 x - sqrt(4 x^2 + 3 x - 2))

= underset(x -> - oo)(l i m) ((sqrt(x^2 + 3 ))^2 - (2 x . sqrt(4 x^2 + 3 x - 2)) + (2 x . sqrt(4 x^2 + 3 x - 2)) - ( sqrt(4 x^2 + 3 x - 2) )^2)/(2 x - sqrt(4 x^2 + 3 x - 2))

= underset(x -> - oo)(l i m) (4 x^2 - ( 4 x^2 + 3 x - 2 ))/(2 x - sqrt(4 x^2 + 3 x - 2)) = underset(x -> - oo)(l i m) (4 x^2 - 4 x^2 - 3 x + 2)/(2 x - sqrt(4 x^2 + 3 x - 2)) = underset(x -> - oo)(l i m) (2 - 3 x)/(2 x - sqrt(4 x^2 + 3 x - 2))

Passo 3

O terceiro passo é perceber que não há mais possibilidade de arrumar a nossa função, então isso significa que retornamos para um lugar conhecido, ou seja, vamos utilizar os truques de limite quando x -> oo e função é uma divisão de polinômios. Isso quer dizer que vamos dividir em cima e em baixo, pelo termo de maior grau.

Então o limite ficará da forma:

= underset(x -> - oo)(l i m) ((2)/(x) - (3 x)/(x))/((2 x)/(x) - (sqrt(4 x^2 + 3 x - 2))/(x)) = underset(x -> - oo)(l i m) ((2)/(x) - (3 x)/(x))/(2 - (sqrt(4 x^2 + 3 x - 2))/(x)) = underset(x -> - oo)(l i m) ((2)/(x) - (3 x)/(x))/(2 - sqrt((4 x^2 + 3 x - 2)/(x^2))) = underset(x -> - oo)(l i m) ((2)/(x) - (3 x)/(x))/(2 - sqrt((4 x^2)/(x^2) + (3 x)/(x^2) - (2)/(x^2))) = underset(x -> - oo)(l i m) ((2)/(x) - (3 x)/(x))/(2 - sqrt(4 + (3)/(x) - (2)/(x^2))) = (underset(x -> oo)(l i m) ((2)/(x) - (3 x)/(x)))/(underset(x -> - oo)(l i m) (2 - sqrt(4 + (3)/(x) - (2)/(x^2)))) = (underset(x -> oo)(l i m) (2)/(x) - underset(x -> oo)(l i m) 3)/(underset(x -> - oo)(l i m) 2 - underset(x -> - oo)(l i m) sqrt(4 + (3)/(x) - (2)/(x^2)))

Passo 4

O terceiro passo é utilizar as propriedades de limites (soma, subtração, divisão...) que já sabemos, para com isso obter o resultado.

(underset(x -> oo)(l i m) (2)/(x) - underset(x -> oo)(l i m) 3)/(underset(x -> - oo)(l i m) 2 - underset(x -> - oo)(l i m) sqrt(4 + (3)/(x) - (2)/(x^2)))

= (underset(x -> - oo)(l i m) (2)/(x) - underset(x -> - oo)(l i m) 3)/(underset(x -> - oo)(l i m) 2 - sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) (4 + (3)/(x) - (2)/(x^2)))) = (underset(x -> - oo)(l i m) (2)/(x) - underset(x -> - oo)(l i m) 3)/(underset(x -> - oo)(l i m) 2 - sqrt(underset(x -> - oo)(l i m) 4 + underset(x -> - oo)(l i m) (3)/(x) - underset(x -> - oo)(l i m) (2)/(x^2)))

= (- 3)/(2 - sqrt(4 + 0 - 0) -) = (- 3)/(2 - sqrt(4)) = (- 3)/(2 - 2) = (- 3)/(0) = oo

Resposta

underset(x -> - oo)(l i m) (2 x + sqrt(4 x^2 + 3 x - 2)) = oo .

OBS: a resposta apresentada no livro, é underset(x -> - oo)(l i m) (sqrt(x^2 + 3 ) + x) = - (3)/(4) .

Isso ocorreu devido uma simplificação incorreta em uma das passagens, onde a fração foi dividida por - x e não por x .

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