Determine lim x->infinito (raiz(9x^2 - x) - 3x)

Passo 1

O primeiro passo consiste procurar reescrever a função que foi dada no enunciado. Faremos isso para que as contas fiquem mais simples e possamos usar coisas que já sabemos.

Como estamos lidando com uma função que possui raiz quadrada e o limite é de x → ∞ . Uma boa opção seria reescrever essa função através de uma racionalização, que consiste em multiplicar a função que temos por 1, entretanto esse 1 é representado de maneira conveniente. Exemplo:   a   - b = a   - b . 1 = a   - b . a + b a + b =   ( a   - b ) . ( a + b ) a + b

Então, se racionalizarmos a função temos,

l i m x → ∞   9 x 2 - x   - 3 x   = l i m x → ∞     9 x 2 - x   - 3 x . 9 x 2 - x + 3 x   9 x 2 - x + 3 x = l i m x → ∞ 9 x 2 - x - 3 x . 9 x 2 - x + 3 x     9 x 2 - x + 3 x

Passo 2

O segundo passo é reorganizar os termos que obtemos no passo 1, isso pode ser feito através da propriedade distributiva, ou chuveirinho como algumas pessoas conhecem, ou seja,

l i m x → ∞ 9 x 2 - x - 3 x . 9 x 2 - x + 3 x     9 x 2 - x + 3 x

= l i m x → ∞ 9 x 2 - x 2 + 9 x 2 - x   .   3 x - 3 x . 9 x 2 - x - ( 3 x   ) 2 9 x 2 - x + 3 x

= l i m x → ∞ 9 x 2 - x 2 + 3 x . 9 x 2 - x   - 3 x . 9 x 2 - x - ( 3 x   ) 2 9 x 2 - x + 3 x

=   l i m x → ∞ 9 x 2 - x   - 9 x 2 9 x 2 - x + 3 x =   l i m x → ∞ - x 9 x 2 - x + 3 x = l i m x → ∞ - x 9 x 2 - x + 3 x

Passo 3

O terceiro passo é perceber que não há mais possibilidade de arrumar a nossa função, então isso significa que retornamos para um lugar conhecido, ou seja, vamos utilizar os truques de limite quando x → ∞ e função é uma divisão de polinômios. Isso quer dizer que vamos dividir em cima e em baixo, pelo termo de maior grau.

Então o limite ficará da forma:

l i m x → ∞ - x x 9 x 2 - x x + 3 x x   = l i m x → ∞ - x x 9 x 2 - x x + 3 x x  

= l i m x → ∞ - 1 9 x 2 - x x + 3     = l i m x → ∞ - 1 9 x 2 - x x 2 + 3   = l i m x → ∞ - 1 9 x 2 x 2 - x x 2   + 3

= l i m x → ∞ - 1   9 - 1 x   + 3 =   - l i m x → ∞ 1 l i m x → ∞ 9 - 1 x   + 3     = - l i m x → ∞ 1 l i m 9 - 1 x   x → ∞ + l i m x → ∞ 3  

Passo 4

O terceiro passo é utilizar as propriedades de limites (soma, subtração, divisão...) que já sabemos, para com isso obter o resultado.

- l i m x → ∞ 1 l i m x → ∞ 9 - 1 x + l i m x → ∞ 3 = - l i m x → ∞ 1 l i m x → ∞ 9 - l i m x → ∞ 1 x     + l i m x → ∞ 3  

= - 1 9 - 0 + 3   = - 1 9 + 3 = - 1 3 + 3 = - 1 6

Resposta

l i m x → ∞   9 x 2 - x   - 3 x   = - 1 6

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