Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

  • Se y = sin 3 ⁡ 3 x 3 , então d y d x = 27 x 2 sin 2 ⁡ 3 x 3 cos ⁡ 3 x 3

Passo 1

Este exercício é um exemplo de composição de várias funções; no caso, temos a composição de três funções. Note que y pode ser escrita como:

y = f g h x

onde:

f x = x 3 g x = sin ⁡ x h x = 3 x 3

A gente sabe derivar funções do tipo f g x , correto? Basta usar a regra da cadeia:

d d x f g x = g ' x   f ' g x

Como podemos fazer para composição de várias funções?? Para isso, vamos usar um artifício. Vamos chamar g h x de m x :

m x = g h x = sin ⁡ 3 x 3

Assim, y será escrito como:

y = f m x

Veja como isso simplificou nossa vida: podemos aplicar a regra da cadeia como conhecemos:

y ' = m ' x   f ' m x

Porém, para calcular m ' x usamos novamente a regra da cadeia:

m ' x = h ' x   g ' h x

Finalmente...

y ' = h ' x   g ' h x   f ' g h x

Passo 2

Agora, vamos derivar cada função:

h x = 3 x 3 ⟹ h ' x = 3 ⋅ 3 x 3 - 1 h ' x = 9 x 2

g x = sin ⁡ x ⟹ g ' x = cos ⁡ x g ' h x = cos ⁡ h x = cos ⁡ 3 x 3

f x = x 3 ⟹ f ' x = 3 x 2 f ' g h x = 3 sin 2 ⁡ 3 x 3

Passo 3

Juntando esses resultados, teremos:

d y d x = 9 x 2 ⋅ cos ⁡ 3 x 3 ⋅ 3 sin 2 ⁡ 3 x 3 d y d x = 27 x 2 sin 2 ⁡ 3 x 3 cos ⁡ 3 x 3

Resposta

Verdadeiro.

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Dados y = f ( u ) e u = g ( x ) , determine (d y)/(d x) = f^' (g (x)) g^' (x) y = cos u u = s e n (x)
Escreva as funções na forma y = f ( u ) e u = g ( x ) . Em seguida, determine d y / d x em função de x . y = 1 - x 7 - 7
Dados y = f ( u ) e u = g ( x ) , determine (d y)/(d x) = f^' (g (x)) g^' (x) y = - sec u u = x^2 + 7 x
Escreva as funções na forma y = f ( u ) e u = g ( x ) . Em seguida, determine d y / d x em função de x . y = sec ⁡ t g x
Escreva as funções na forma y = f ( u ) e u = g ( x ) . Em seguida, determine d y / d x em função de x . y = x 2 8 + x - 1 x 4