Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

  • Se y = sen^3(3x^3) , então dy/dx = 27 * x^2 * sen^2(3 * x^3) * cos(3 * x^3)

Passo 1

Este exercício é um exemplo de composição de várias funções; no caso, temos a composição de três funções. Note que y pode ser escrita como:

y = f g h x

onde:

f x = x 3 g x = sin ⁡ x h x = 3 x 3

A gente sabe derivar funções do tipo f g x , correto? Basta usar a regra da cadeia:

d d x f g x = g ' x   f ' g x

Como podemos fazer para composição de várias funções?? Para isso, vamos usar um artifício. Vamos chamar g h x de m x :

m x = g h x = sin ⁡ 3 x 3

Assim, y será escrito como:

y = f m x

Veja como isso simplificou nossa vida: podemos aplicar a regra da cadeia como conhecemos:

y ' = m ' x   f ' m x

Porém, para calcular m ' x usamos novamente a regra da cadeia:

m ' x = h ' x   g ' h x

Finalmente...

y ' = h ' x   g ' h x   f ' g h x

Passo 2

Agora, vamos derivar cada função:

h x = 3 x 3 ⟹ h ' x = 3 ⋅ 3 x 3 - 1 h ' x = 9 x 2

g x = sin ⁡ x ⟹ g ' x = cos ⁡ x g ' h x = cos ⁡ h x = cos ⁡ 3 x 3

f x = x 3 ⟹ f ' x = 3 x 2 f ' g h x = 3 sin 2 ⁡ 3 x 3

Passo 3

Juntando esses resultados, teremos:

d y d x = 9 x 2 ⋅ cos ⁡ 3 x 3 ⋅ 3 sin 2 ⁡ 3 x 3 d y d x = 27 x 2 sin 2 ⁡ 3 x 3 cos ⁡ 3 x 3

Resposta

Verdadeiro.

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Dados y = f(u) e u = g(x) , determine dy/dx = f'(g(x)) * g'(x) y = cos(u) u = sen(x)
Escreva as funções na forma y = f(u) e u = g(x) . Em seguida, determine dy/dx em função de x .y = (1 - x / 7)^(-7)
Dados y = f(u) e u = g(x) , determine dy/dx = f'(g(x)) * g'(x) y = -sec(u) u = x^2 + 7x
Escreva as funções na forma y = f(u) e u = g(x) . Em seguida, determine dy/dx em função de x .y = sec(tg(x))
Escreva as funções na forma y = f(u) e u = g(x) . Em seguida, determine dy/dx em função de x .y = ( (x^2 / 8) + x - (1 / x) )^4