Dada a tabela a seguir, encontre as derivadas indicadas em (a) e (b)

  1. g' ( 2 ) , onde g(x) = [f(x)]^3 .
  2. h'² , onde h(x) = f(x^3) .

Passo 1

  1. Vamos começar calculando g ' x . Note que para fazer isso, devemos usar a regra da cadeia, pois temos uma composição de funções. Note:
  2. f x 3 = u f x

    onde u x = x 3 . Assim,

    d d x f x 3 = f ' x   u ' f x d d x f x 3 = f ' x ⋅ 3 f x 2 d d x f x 3 = 3 f ' x f x 2

    Portanto, fazendo x = 2 , temos

    g ' 2 = 3 ⋅ f ' 2 ⋅ f 2 2 g ' 2 = 3 ⋅ 7 ⋅ 1 2 g ' 2 = 21 .

    Passo 2

  3. Note que temos novamente uma composição de funções. Veja:

f x 3 = f v x

onde v x = x 3 . Logo,

d d x f x 3 = v ' x   f ' v x d d x f x 3 = 3 x 2   f ' x 3

Sendo assim,

h ' 2 = 3 ⋅ 2 2 ⋅ f ' 2 3 h ' 2 = 12 ⋅ - 3 h ' 2 = - 36

Resposta

  1. 21 .
  2. - 36 .
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