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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 15

Escreva as funções na forma y = f ( u ) e u = g ( x ) . Em seguida, determine d y / d x em função de x .

y = sec ⁡ t g x

Passo 1

Agora sim os exercícios começam a ficar mais interessantes! Precisamos pegar a nossa h ( x ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( x ) tais que:

h x = f ∘ g x = f g x

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d y / d x , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

d y d x = h ' x = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( x ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( x ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos começar por determinar quem é f ( u ) e g ( x ) . Vejamos a nossa função dada:

y = sec ⁡ t g x

O termo “mais interno” é t g x . Se fizermos u = g x = t g x e substituirmos na função acima, obtemos:

y = s e c ⁡ ( u )

E é assim que conseguimos separar uma função composta! Simples, não é? Portanto, as nossas funções f e g são:

f u = sec ⁡ u

g x = t g ( x )

Passo 3

Agora que determinamos quais são as funções f e g , podemos enfim começar a determinar a derivada d y / d x . Vamos começar por determinar a derivada da função f ( u ) . Sendo assim, temos:

y ' = f ' u = sec ⁡ u '

y ' = sec ⁡ u ⋅ t g u

Passo 4

Vamos determinar agora a derivada da função g ( x ) . Sendo assim, temos:

u ' = g ' x = t g ( x ) '

g ' x = sec 2 ⁡ x

Passo 5

Vamos fazer a composição de f ' u com g ( x ) , isto é, obter f ' g x . Para isto, basta substituir g x = t g ( x ) em todo u na função f ' ( u ) . Portanto, temos:

f ' g x = f ' t g ( x ) = sec ⁡ t g ( x ) ⋅ t g t g ( x )

f ' g x = sec ⁡ t g ( x ) ⋅ t g t g ( x )

Passo 6

O que nos falta é multiplicar f ' g x por g ' ( x ) para obtermos a derivada d y / d x . Portanto, a resposta final do nosso problema é:

d y d x = sec ⁡ t g ( x ) ⋅ t g t g x ⋅ sec 2 ⁡ x

Resposta

d y d x = sec ⁡ t g ( x ) ⋅ t g t g x ⋅ sec 2 ⁡ x

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