Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 60

Determine a área total entre a região e o eixo x.

y = x^((1)/(3)) - x , - 1 <= x <= 8

Passo 1

Para determinar a área entre o gráfico de y = f ( x ) e o eixo x no intervalo dado, devemos primeiro subdividir esse intervalo em outros intervalos com as raízaes de f .

Determinando então as raízes de f , temos:

f (x) = 0 => x^((1)/(3)) - x = 0 => x (x^(- (2)/(3)) - 1) = 0

x^' = 0 x^(' ') = 1 x^(' ' ') = - 1

Passo 2

Agora devemos integrar f em cada subintervalo e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Lembre-se também que integração polinomial é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim, para f <= 0 [- 1 , 0] , [ 1,8 ] e para f >= 0 [0,1] :

int_(- 1)^0 ( x^((1)/(3)) - x ) d x = [(x^((4)/(3)))/((4)/(3)) - (x^2)/(2)] (0)/(- 1) = [0] - [(3)/(4) - (1)/(2)] = - (1)/(4)

int_0^1 (x^((1)/(3)) - x) d x = [(x^((4)/(3)))/((4)/(3)) - (x^2)/(2)] (1)/(0) = [(3)/(4) - (1)/(2)] - [0] = (1)/(4)

int_1^8 (x^((1)/(3)) - x) d x = [(x^((4)/(3)))/((4)/(3)) - (x^2)/(2)] (8)/(1) = [12 - 32] - [(3)/(4) - (1)/(2)] = [- 20] - [(1)/(4)] = - (81)/(4)

Passo 3

Por fim, a área total é obtida pela adição dos valores absolutos das integrais calculadas. Logo:

A = |- (1)/(4)| + |(1)/(4)| + |- (81)/(4)| = (83)/(4)

Resposta

(83)/(4)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

74. Texto. Escreva um parágrafo curto descrevendo as várias maneiras pelas quais a integração e a derivação podem ser vistas como processos inversos. (Discuta ambas as integrais, definidas e indefinid
73- Prove o Teorema do Valor Médio para Integrais (Teorema 5.6.2) aplicando o Teorema do Valor Médio (4.8.2) a uma antiderivada de F de f .
71-72. Calcule cada limite interpretando-o como uma soma de Riemann em que os intervalos são divididos em n subintervalos de igual comprimento.72. lim n → ∞ ⁡ ∑ x = 1 ∞ n n 2 + x 2 no intervalo 0 ,1 .
69-a)Suponha que um reservatório forneça a água para um parque industrial a uma taxa constante de r = 4 galões por minuto entre 8h30min e 9h da manhã. Quanta água o reservatório fornecerá durante esse
75. Texto. Seja f uma função contínua num intervalo [ a ,b ] eseja x * o ponto garantido pelo Teorema do Valor Médio para Integrais. Explique geometricamente por que f( x * ) pode ser interpretado com