Determine a área total entre a região e o eixo x.

y = x^(1/3) - x, -1 <= x <= 8

Passo 1

Para determinar a área entre o gráfico de y = f ( x ) e o eixo x no intervalo dado, devemos primeiro subdividir esse intervalo em outros intervalos com as raízaes de f .

Determinando então as raízes de f , temos:

f x = 0 ⇒   x 1 3 - x = 0 ⇒   x x - 2 3 - 1 = 0

x ' = 0               x ' ' = 1                 x ' ' ' = - 1

Passo 2

Agora devemos integrar f em cada subintervalo e a substituir os limites de integração. Relembrando que de forma genérica ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Lembre-se também que integração polinomial é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1 + C

Assim, para f ≤ 0   - 1 , 0   ,   [ 1,8 ] e para f ≥ 0     0,1 :

∫ - 1 0 ( x 1 3 - x ) d x = x 4 3 4 3 - x 2 2 0 - 1 = 0 - 3 4 - 1 2 = - 1 4

∫ 0 1 x 1 3 - x d x = x 4 3 4 3 - x 2 2 1 0 = 3 4 - 1 2 - 0 = 1 4  

∫ 1 8 x 1 3 - x d x = x 4 3 4 3 - x 2 2 8 1 = 12 - 32 - 3 4 - 1 2 = - 20 - 1 4 =   - 81 4  

Passo 3

Por fim, a área total é obtida pela adição dos valores absolutos das integrais calculadas. Logo:

A = - 1 4 + 1 4 + - 81 4 = 83 4

Resposta

83 4

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