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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.Exercícios Práticos - Ex. 33

Determine a área total da região delimitada pela curva y = 2 ln ⁡ x x e o eixo x   de x = 1 até y = e .

Passo 1

Esboçando o gráfico para identificar qual a função que está acima e qual está abaixo, parece uma boa ideia. Já que pela definição

A = ∫ a b f x - g x d x

Ou seja, área da região entre as curvas, é a integral da função de cima f ( x ) menos a função de baixo g x .

Passo 2

Esboçando o gráfico da função, seja por um software, ou substituindo alguns valores em cada umas das funções para obter pontos, teremos um gráfico como esse ou parecido,

Onde, pelo que podemos ver temos uma região, onde de 1 até e y   = 2 ln ⁡ x x   é a função que está por cima , y = 0   é   a função que está em baixo . Sendo que a parte hachurada é região que desejamos calcular a área. Dessa forma a integral será:

∫ 1 e 2 l n x x - 0   d x  

Cujo intervalo de integração foi definido no enunciado.

Passo 3

Já que encontramos a “cara” integral que para determinar a área, então vamos partir para os cálculos e ver quando essa integral vai dar.

∫ 1 e 2 l n x x - 0   d x  

= ∫ 1 e 2 l n x x   d x  

Usando a regra de retirada da constante (integral da constante é a constante vezes a integral).

= 2 ∫ 1 e l n x x   d x  

Utilizando o método de substituição, suponha que u = l n ⁡ ( x )   então d u = 1 x   d x ⇒ d x = x   d u .Além disso quando x = 0 ⇒ u = ln ⁡ 1 = 0     e quando x = e ⇒   u = l n ⁡ ( e )   = 1 .

Sendo assim,

= 2 ∫ u = 0 u = 1 u x     x d u

= 2 ∫ u = 0 u = 1 u d u

= 2 u 2 2 ​ u = 0 u = 1

= u 2 ​ u = 0 u = 1

Utilizando o Teorema fundamental do Calculo Parte II,

= 1 2 - 0 2

= 1 - 0

= 1 .

Resposta

Área da delimitada pela curva y = 2 ln ⁡ x x e o eixo x   de x = 1 até y = e .

É igual à 1.

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