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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.8 - Ex. 15

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 2 π ∞ s e n   x   d x

Passo 1

Devemos tentar calcular a integral e imprópria e assim ver se ela converge ou não. Essa é uma integral imprópria do tipo 1, assim, vamos tentar calcular a seguinte integral e depois calcular o limite:

∫ 2 π t s e n   x   d x

Passo 2

Como a primitiva do seno é menos cosseno:

∫ 2 π t s e n   x   d x = - cos ⁡ x 2 π t = - cos ⁡ t - cos ⁡ 2 π = 1 - cos ⁡ t

Passo 3

Agora, vamos fazer t → ∞ e ver se a integral converge:

lim t → ∞ ⁡ ∫ 2 π t s e n   x   d x = lim t → ∞ ⁡ 1 - cos ⁡ t

Este limite não existe pois o cosseno oscila entre - 1 e 1 num período fixo, de modo que a integral diverge.

Resposta

Diverge.

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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ - ∞ - 1 1 2 - w d w
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Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ - ∞ 0 1 2 x - 5 d x
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes. ∫ 0 ∞ x x 2 + 2 2 d x
Encontre a área sob a curva y = 1 x 3 de x = 1 a x = t e calcule-a para t = 10 , 100 e 1000 . Então, encontre a área total abaixo dessa curva para x ≥ 1 .