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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 3

Escreva, mas não calcule, uma integral para a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do (a) eixo x e (b) eixo y.

y = a r c t g   x , 0 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Bom, essa é uma questão introdutória sobre áreas de superfície de revolução: é pedido apenas para escrever a integral que fornecerá a área, mas não vamos precisar calcular ela (ufa né?). Além disso, devemos escrever tanto a expressão considerando a rotação em torno do eixo x (item a) como em torno do eixo y (item b). Para isso, é sempre bom fazer um esboço da curva né?

Passo 2

Rotacionando em torno do eixo x, a integral é calculada na variável x e é dada por

A = ∫ a b 2 π   y   1 + ( y ' ) 2   d x

Calculando y ' , obtemos

y ' = 1 1 + x 2 ⇒ 1 + ( y ' ) 2 = 1 + 1 ( 1 + x 2 ) 2 = x 4 + 2 x 2 + 2 ( 1 + x 2 ) 2

Assim

A = 2 π   ∫ 0 1 a r c t g   x   x 4 + 2 x 2 + 2 ( 1 + x 2 ) 2   d x

Passo 3

Para a rotação em torno do eixo y, a integral é dada por

A = ∫ a b 2 π   x   1 + ( x ' ) 2   d y ,

onde x é dado como função de y . Como temos que y = a r c t g   x , segue que x = t g   y . Assim, calculando x ' :

x ' = s e c 2 y ⇒ 1 + ( x ' ) 2 = 1 + s e c 4 y

Além disso, quando x varia no intervalo de 0 a 1 , y varia de 0 a π / 4 . Por fim,

A = 2 π   ∫ 0 π / 4 t g   y   1 + s e c 4 y   d y

Resposta

a) A = 2 π   ∫ 0 1 a r c t g   x   x 4 + 2 x 2 + 2 ( 1 + x 2 ) 2   d x

b) A = 2 π   ∫ 0 π / 4 t g   y   1 + s e c 4 y   d y

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