Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.8 - Ex. 9
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
Passo 1
E aí! tudo certinho?
Nesse problema temos que determinar se a integral dada por
É convergente ou divergente...
Tem ideia de como fazemos isso?
Para calcular essa integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1:
Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
Veja só!
Passo 2
Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição.
Vamos agora achar diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos aplicar:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo:
Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos lá:
Calculando o limite...
A integral converge, pois o limite existe.
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
Converge e tem valor