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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 58

Determine o comprimento da curva y = x^2 , 0 <= x <= (sqrt(3))/(2) .

Passo 1

Vamos usar a fórmula do comprimento de curva, que é dada por:

L = int_a^b sqrt(1 + (f^' (x))^2) d x

Então, vamos calcular primeiro a derivada da função, e depois aplicá-la na fórmula no intervalo pedido...

f^' (x) = 2 x

Então, calculamos o comprimento assim:

L = int_0^((sqrt(3))/(2)) sqrt(1 + ( 2 x )^2) d x = int_0^((sqrt(3))/(2)) sqrt(1 + 4 x^2) d x

Passo 2

Agora, vamos fazer umas manipulações algébricas para usar as fórmulas de integração:

int_0^((sqrt(3))/(2)) sqrt(1 + 4 x^2) d x = int_0^((sqrt(3))/(2)) sqrt(4 ((1)/(4) + x^2)) d x

2 int_0^((sqrt(3))/(2)) sqrt(((1)/(4) + x^2)) d x

Usando a fórmula de integração da tabela de integrais, ficamos com:

2 [(x)/(2) sqrt((1)/(4) + x^2) + ((1)/(4)) ((1)/(2)) ln (x + sqrt((1)/(4) + x^2))] ((sqrt(3))/(2))/(0)

Daí a gente volta pra forma...

[(x)/(2) sqrt(1 + 4 x^2) + (1)/(4) ln (x + (1)/(2) sqrt(1 + 4 x^2))]_0^((sqrt(3))/(2))

Agora substituímos os valores:

(sqrt(3))/(4) sqrt(1 + 4 ((3)/(4))) + (1)/(4) ln ((sqrt(3))/(2) + (1)/(2) sqrt(1 + 4 ((3)/(4)))) - (0 + (1)/(4) ln (0 + (1)/(2)))

Resolvemos...

(sqrt(3))/(4) (2) + (1)/(4) ln ((sqrt(3))/(2) + 1) + (1)/(4) ln 2

Então...

L = (sqrt(3))/(2) + (1)/(4) ln (sqrt(3) + 2)

Resposta

L = (sqrt(3))/(2) + (1)/(4) ln (sqrt(3) + 2)

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