Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 33

Determine a equação do plano tangente à superfície parametrizada dada no ponto especificado. Se você tiver um programa que trace o gráfico de superfícies parametrizadas, use-o para traçar a superfície e o plano tangente.

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a equação do plano é preciso um ponto que pertence a ele e um vetor normal ? A equação do plano é:

Quando falamos em plano tangente à superfície o vetor normal é dado pelo produto vetorial dos vetores e que são as derivadas parciais da função paramétrica em relação às variáveis e de parametrização.

O ponto já foi dado. É

Passo 2

Agora temos que encontrar o vetor normal ao plano. Vamos montar a função vetorial:

Agora vamos fazer a derivada parcial de em relação à :

E agora calcular o vetor normal ao plano :

Assim o vetor normal ao plano é .

Mas Sabemos que

E como temos que . E da coordenada temos:

Assim tiramos o valor de .

Agora sim o vetor normal ao plano está completo:

Passo 3

Já que temos o vetor diretor e o ponto , e lembrando que a equação do plano é (dá uma espiada no passo um):

Agora é só substituir!

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

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Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados.c) z = x y ; P 0 1 , 1 2 , 1 2 ;P 1 ( 0 , 2 ,0 )

Determinar uma equação vetorial da reta normal às seguintes superfícies nos pontos indicados.e) r → u ,v = u ,v ,- u 2 - v 2 ;P 1 ,1 ,- 2

Determinar uma equação vetorial da reta normal às seguintes superfícies nos pontos indicados.f) r → u ,v = u ,v ,4 - u 2 - v 2 ;P 1 ,1 ,2

Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados. z = 3 x 2 y ; P 0 1 ,1 ,3 ;P 1 ( - 1 ,1 ,3 )

Escrever uma equação vetorial para a superfície dada e determinar as equações do plano tangente e da reta normal, nos pontos indicados.c) x + 2 y + z = 4 ; P 0 1 , 1 2 , 2 ;P 1 ( 0 , 1 ,2 )