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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.6 - Ex. 43

Determine a área da superfície.

A superfície z = (2)/(3) (x^((3)/(2)) + y^((3)/(2))) , 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= 1 .

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para determinar a área de uma superfície devemos fazer:

A (S) = ∬ sqrt(1 + ((del z)/(del x))^2 + ((del z)/(del y))^2 ) d A

Onde a função z = f ( x , y ) é uma função das variáveis x e y , dentro da região no plano x y .

Aqui a função é:

z = (2)/(3) (x^((3)/(2)) + y^((3)/(2)))

Então os limites são:

0 <= y <= 1

E para x :

0 <= x <= 1

Então o diferencial de área vai ser d y d x e o intervalo:

{[[0 <= x <= 1],[0 <= y <= 1]])

Passo 2

Agora temos que calcular os valores de (del z)/(del x) e (del z)/(del y) .

A função z é: z = (2)/(3) (x^((3)/(2)) + y^((3)/(2))) . As derivadas parciais são:

(del z)/(del x) = (2)/(3) . (3)/(2) x^(1 // 2) = x^(1 // 2)

(del z)/(del y) = (2)/(3) . (3)/(2) y^(1 // 2) = y^(1 // 2)

Assim temos:

sqrt(1 + (x^(1 // 2))^2 + (y^(1 // 2))^2 ) = sqrt(1 + x + y )

Passo 3

Agora vamos montar a integral:

∬ sqrt(1 + x + y ) d A = int_0^1 int_0^1 sqrt(1 + x + y) d y d x

Por substituição, u = 1 + x + y e considerando x constante, a derivada de u em relação a y é d u = d y . Então a integral de dentro fica:

int sqrt(u) d u = (u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1) = (2)/(3) u^((3)/(2))

Substituindo novamente o resultado na integral de área:

A = int_0^1 (2)/(3) ( 1 + x + 1 )^((3)/(2)) d x = (2)/(3) int_0^1 ( x + 2 )^((3)/(2)) - ( x + 1 )^((3)/(2)) d x

A = ((2)/(3) (x + 2)^((5)/(2)))/((5)/(2)) (​|_(x = 0)^1 - ((2)/(3) (x + 1)^((5)/(2)))/((5)/(2)) (​|_(x = 0)^1

= (2)/(3) . (2)/(5) (3)^((5)/(2)) - (2)/(3) . (2)/(5) (2)^((5)/(2)) - (2)/(3) . (2)/(5) (2)^((5)/(2)) + (2)/(3) . (2)/(5) (1)^((5)/(2))

= (4)/(15) . [ 3^((5)/(2)) - 2^((5)/(2)) - 2^((5)/(2)) + 1 ]

A = (4)/(15) [ 3^((5)/(2)) - 2^((7)/(2)) + 1 ]

Resposta

(4)/(15) [ 3^((5)/(2)) - 2^((7)/(2)) + 1 ]

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Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S S é a superfície com o vetor paramétrico r u , v = 2 u v ,u 2 - v 2 , u 2 + v 2 ,u 2 + v 2 ≤ 1 .
2- Uma superfície S é formada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 ,- 1 ≤ z ≤ 1 , e por círculos no fundo e no topo. Suponha que você saiba que f é uma função contínua com f ± 1 , 0,0 = 2 , f 0 , ± 1,0 = 3 e f
Seja S o cubo com vértices ± 1 , ± 1 , ± 1 . Aproxime ∫ ∫ S x 2 + 2 y 2 + 3 z 2d S usando as somas de Riemann como na Definição 1, tomando os retalhos S i j como os quadrados que são as faces do cubo
Encontrar a área da superfície do plano 2 x + y + 2 z = 16 , interceptado por x = 0 ,y = 0 ,x = 2 e y = 3 x = 0 ,y = 0 e x 2 + y 2 = 36 , no 1° octante
Calcular a área da superfície do paraboloide y = 3 - ( x 2 + z 2 ) interceptado pelo plano y = 0