Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.3 - Ex. 31

Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.

Como temos uma função de , a fórmula vai ser:

Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, e a derivada da , que é a função do enunciado.

O intervalo é de , que é o ponto inicial, até que é um ponto final qualquer. Assim vamos achar a função, em , do comprimento de arco.

Vamos para a derivada.

Derivando, vamos ter:

Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:

Como é sempre positivo no intervalo de integração, podemos cortsar aquele expoente com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo

Vamos resolver essa integral:

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

Vamos usar a substituição simples, fazendo:

A integral vai ficar:

Escrevendo aquela raiz como potência:

Nossa integral em fica:

Voltando para :

Voltando para a nossa integral definida:

O comprimento vai ser o valor da nossa função comprimento de arco para , que é o valor de no ponto final.

Compriomento de até