Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.3 - Ex. 31
Determine a função comprimento de arco para o gráfico usando como ponto inicial. Qual é o comprimento da curva de até
Passo 1
Para calcularmos o comprimento da curva, devemos usar a fórmula para o comprimento.
Como temos uma função de , a fórmula vai ser:
Entao precisamos de duas coisas, o intervalo de intergração, e a derivada da , que é a função do enunciado.
O intervalo é de , que é o ponto inicial, até que é um ponto final qualquer. Assim vamos achar a função, em , do comprimento de arco.
Vamos para a derivada.
Derivando, vamos ter:
Passo 2
Vamos para a interal do comprimento agora, usando oque achamos:
Como é sempre positivo no intervalo de integração, podemos cortsar aquele expoente com aquele quadrado sem necessidade de colocar o módulo
Passo 3
Vamos resolver essa integral:
Primeiro, vamos ver a integral indefinida:
Vamos usar a substituição simples, fazendo:
A integral vai ficar:
Escrevendo aquela raiz como potência:
Nossa integral em fica:
Voltando para :
Passo 4
Voltando para a nossa integral definida:
Passo 5
O comprimento vai ser o valor da nossa função comprimento de arco para , que é o valor de no ponto final.
Resposta
Compriomento de até