Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 19
Ache o comprimento do arco da curva no segundo quadrante do ponto onde
Passo 1
Em questões desse tipo, teremos que inicialmente isolar o , é um exercício em que a teoria e a fórmula são bem tranquilas! O que pode nos atrapalhar é a integração, mas vamos lá e com calma chegaremos na resposta!
Vamos fazer aquilo que falei para fazermos primeiro! Isolar o :
Passo 2
Agora que isolamos , faremos a sua derivada, pois a fórmula do comprimento do arco pede a derivada de :
Faremos a regra da cadeia para acharmos essa derivada! Lembra?
Diremos que , é uma função composto de funções , e a derivada de é igual a :
Teremos que achar e . Temos essa parada aqui ó:
Então:
Derivando temos:
Beleza! Agora vamos para o :
Apenas para facilitar um pouco, iremos tirar o 9 de dentro da raiz:
E para finalizar essa parte, iremos colocar a derivada de
Passo 3
Beleza, com já calculada iremos elevar a expressão ao quadrado! Você se lembra da fórmula de comprimento de arco?
Então, vamos elevar ao quadrado!
Agora iremos, fazer a integral!!! Vamos lá
Focaremos nessa integral:
Botaremos em evidência, lembra que o ponto esta no 2 quadrante, então a raiz quadrada de
Lembrando que:
Vamos voltar para a integral:
Vamos fazer a integral por substituição:
Derivando temos:
Substituindo na integral temos:
Voltando a variável inicial, temos:
Calculando essa integral definida temos que o comprimento desse arco será: