Determine se o gráfico é uma circunferência, um ponto ou um conjunto vazio.

4 * x^2 + 4 * y^2 + 24 * x - 4 * y + 1 = 0

x^2 + y^2 + 6x - y + 1/4 = 0

x^2 + 6x + 9 - 9 + y^2 - y + 1/4 = 0

(x + 3)^2 + (y + 1/2)^2 = 9

Passo 1

Para sabermos se a equação representa uma circunferência, um ponto ou um conjunto vazio, devemos analisar o raio da possível circunferência: se for positivo, é uma circunferência; se for nulo, é um ponto; se for negativo, é um conjunto vazio. Para isso, precisamos colocar a equação na forma centro-raio completando quadrados: a 2 ± 2 ⋅ a ⋅ b + b 2 = a ± b 2

Passo 2

4 ⋅ x 2 + 4 ⋅ y 2 + 24 ⋅ x - 4 ⋅ y + 1 = 0

4 ⋅ x 2 + 6 ⋅ x + 4 ⋅ y 2 - y + 1 = 0

4 ⋅ x 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ x + 3 2 - 3 2 + 4 ⋅ y 2 - 2 ⋅ 1 2 ⋅ y + 1 2 2 - 1 2 2 + 1 = 0

4 ⋅ x + 3 2 + 4 ⋅ y - 1 2 2 = 4 ⋅ 9 + 4 ⋅ 1 4 - 1

x + 3 2 + y - 1 2 2 = 9

Passo 3

Como 3 > 0 , essa equação representa uma circunferência de raio 3 .

Resposta

É uma circunferência.

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