Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 1.Revisão - Ex. 46
Os lados de um paralelogramo estão sobre as retas , , e . Ache as equações das diagonais se determinar os vértices do paralelogramo. (Sugestão: veja o Exercício 58 nos Exercícios 1.2.)
Passo 1
Para isso, vamos utilizar o conceito de combinação linear: quando w é uma combinação linear entre u e v, podemos escrever w em função de u e v como , para quaisquer . Além disso, devemos lembrar que, para duas equações representarem a mesma reta, seus coeficientes devem ser proporcionais.
Passo 2
Como o sistema entre as duas primeiras retas dadas delimita um ponto, qualquer outra reta que passe por esse ponto deve satisfazer o sistema também, ou seja, sua equação é uma combinação linear das equações do sistema. Então, a equação da primeira diagonal é
Chamando , para , temos:
Agrupando as variáveis, ficamos com:
Passo 3
Mas como essa diagonal também passa pela interseção das duas últimas retas dadas, ela também pode ser escrita como
Chamando , para , temos:
Agrupando as variáveis, ficamos com:
Passo 4
Para que as duas equações representem a mesma reta, temos que ter
com .
Na primeira equação,
O que significa que também.
Passo 5
Reescrevendo o sistema
Então, temos que
Passo 6
Aplicando o resultado na equação do passo 2 (ou do passo 3, já que ), temos que a equação de uma diagonal é
Passo 7
Para encontrar a equação da outra diagonal, fazemos o mesmo passo a passo, mas os sistemas serão:
As equações resultantes de cada sistema como foi feito nos passos 2 e 3 vão ficar:
O sistema do passo 4, ficará:
E a solução é análoga: .