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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 13

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

13 –

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 y x 4 + y 2

Passo 1

E aí, galera. Beleza?

Bom, nessa questão nós temos que analisar a função dada e calcular o limite pedido. Caso ele não exista, devemos mostrar isso.

Tranquilo? Vem comigo então.

Passo 2

A função que devemos usar para calcular o limite pedido é:

f x , y = 2 x 2 y x 4 + y 2

De cara já podemos ver que f x , y não é contínua no ponto 0,0 já que o denominador seria igual a zero.

Repara que os expoentes no denominador são diferentes. Então podemos usar o bizu de usar um caminho conveniente para tentar:

y = m x n

E esse n é um valor que quando substituirmos no y 2 vai dar 4 (pra deixar com os expoentes iguais). Então n = 2 , certo?

Substituindo:

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x 2 m x 2 x 4 + m x 2 2  

lim x → 0 ⁡ 2 m x 4 x 4 + m x 4 = lim x → 0 ⁡ 2 m x 4 x 4 1 + m = lim x → 0 ⁡ 2 m 1 + m = 2 m 1 + m

Conseguimos achar o limite por esse caminho, maaas ele depende de m , que a gente definiu lá na escolha do caminho, né? Então o limite depende do caminho!

Como depende do caminho, então o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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Determine se underset((x , y) - (x_0 , y_0))(lim) f (x , y) existe nos seguintes casos:(a) f (x , y) = (x^2 y^2)/(x^2 + y^2) , (x_0 , y_0) = (0 , 0)
Encontre os limites nos Exercícios 1-12.
Encontre os limites nos Exercícios 1-12.
Encontre os limites nos Exercícios 1-12.
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