Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.4 - Ex. 2a
Determine se existe nos seguintes casos:
Passo 1
E aí, pessoal!! Quem vem pra mais um exercício com o Responde Aí? Vamo lá :D
Lembrando de como é resolvido o limite de uma função só, se ela tiver duas variáveis o procedimento é o mesmo. Então, nada de se assustar hehe.
Tendo tendendo ao ponto dado, vamos verificar se a função se torna indefinida nesse mesmo ponto. Caso isso aconteça, precisamos manipular a função de tal modo que o limite passe a existir. Mas de início, podemos apenas substituir as coordenadas do ponto na nossa função e verificar o seu resultado.
Passo 2
Então, se substituirmos o ponto no nosso limite, teremos:
Como a substituição direta deu um resultado indeterminado, vamos resolver o limite de outra forma. Vamos fazer uso o Teorema do Sanduíche, no qual a ideia é usar duas funções sendo uma menor e outra maior do que a função dada. Matematicamente, se temos uma função , tal que:
E:
Então:
É parecido com a ideia de limites laterais, não é mesmo?
Ainda, vamos usar também o Teorema do Anulamento que diz que se:
E é uma função limitada, então:
Passo 3
Como a nossa função dada pode ser escrita como:
E sabendo que:
Ela possui uma forma parecida com a necessária para o Teorema do Anulamento proceder, o que é um sinal de que o limite existe. Pra confirmar, vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.
Passo 4
Então, vamos utilizar outras duas funções em que uma seja menor e outra seja maior que a função de interesse. Logo, vamos escrever primeiro:
Queremos que a função central tenha a mesma forma que a dada. Então dividindo tudo por :
Por fim, só nos resta multiplicar por para obtermos:
E assim chegamos na inequação desejada.
Passo 5
Como temos que os limites dos extremos resultam em:
E:
Podemos concluir que:
E, portanto, ele existe.