Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 12
Encontre e . Para quais valores de a curva é côncava para cima?
Passo 1
Olá, meu amigo. Pronto para resolver essa atividade de derivadas?
Temos uma curva parametrizada dada por:
E queremos então encontrar a primeira derivada e a segunda derivada dessa parametrização.
A derivada primeira da curva é dada por:
Assim, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e substituir nessa fórmula.
Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:
Que é a derivação da primeira derivada que iremos encontrar. Após encontrarmos a nossa segunda derivada poderemos dizer se a curva é concava para cima ou para baixo.
A curva é concava para cima quando:
E concava para baixo quando:
Passo 2
Vamos começar pela derivada de :
Agora a derivada de :
Substituindo na fórmula da primeira derivada:
Passo 3
Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:
Então, vamos pegar a derivada e derivar em relação a e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de em relação a nós já temos.
Usando a regra do quociente para realizar a derivação:
Agora então derivando de fato:
Realizando a distributiva:
Realizando a simplificação:
Passo 4
Já temos tudo, então agora é só substituir e encontrarmos a segunda derivada:
Organizando a fração:
Passo 5
Para descobrir para quais valores de a curva é côncava para cima, precisamos fazer:
Esse numerador é sempre maior do que zero porque tem um termo ao quadrado somado com uma constante.
Então, essa derivada segunda vai ser maior do que zero quando o denominador for menor do que zero, por causa desse sinal de menos que tem na frente. Assim,
Retirando o cubo:
Passando para o outro lado da desigualdade:
Resposta
A concavidade da curva é para cima quando .