Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.2 - Ex. 12

Encontre e . Para quais valores de a curva é côncava para cima?

Passo 1

Olá, meu amigo. Pronto para resolver essa atividade de derivadas?

Temos uma curva parametrizada dada por:

E queremos então encontrar a primeira derivada e a segunda derivada dessa parametrização.

A derivada primeira da curva é dada por:

Assim, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e substituir nessa fórmula.

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

Que é a derivação da primeira derivada que iremos encontrar. Após encontrarmos a nossa segunda derivada poderemos dizer se a curva é concava para cima ou para baixo.

A curva é concava para cima quando:

E concava para baixo quando:

Passo 2

Vamos começar pela derivada de :

Agora a derivada de :

Substituindo na fórmula da primeira derivada:

Passo 3

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

Então, vamos pegar a derivada e derivar em relação a e depois a gente substituiu aí, porque a derivada de em relação a nós já temos.

Usando a regra do quociente para realizar a derivação:

Agora então derivando de fato:

Realizando a distributiva:

Realizando a simplificação:

Passo 4

Já temos tudo, então agora é só substituir e encontrarmos a segunda derivada:

Organizando a fração:

Passo 5

Para descobrir para quais valores de a curva é côncava para cima, precisamos fazer:

Esse numerador é sempre maior do que zero porque tem um termo ao quadrado somado com uma constante.

Então, essa derivada segunda vai ser maior do que zero quando o denominador for menor do que zero, por causa desse sinal de menos que tem na frente. Assim,