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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.1 - Ex. 76

Determine os pontos críticos,extremidades de domínio e valores extremos (absolutos e locais) da função:

y = - 1 4 x 2 - 1 2 x + 15 4 ,           x ≤ 1 x 3 - 6 x 2 + 8 x ,                       x > 1

Passo 1

Derivando as equações separadamente, teremos:

y ' = - 1 2 x - 1 2 3 x ² - 12 x + 8

Passo 2

Igualando as equações a 0, teremos:

- 1 2 x - 1 2 = 0

x = - 1

x = - 1   a t e n d e   a   r e s t r i ç ã o   d e   x ≤ 1

3 x 2 - 12 x + 8 = 0

Δ = 48

- - 12 ± 48 2 × 3

x ≈ 3,155   e   x ≈ 0,845

D e s s e s   d o i s   p o n t o s ,   a p e n a s   3,155   a t e n d e   a   r e s t r i ç ã o   i m p o s t a   d e   x > 1

Passo 3

Substituindo na função original, temos:

y - 1 = - 1 4 - 1 2 - 1 2 - 1 + 15 4

y - 1 = - 1 4 + 2 4 + 15 4 = 16 4 = 4

y 3,155 = 3,155 3 - 6 × 3,155 2 + 8 × 3,155 = - 3,079

Passo 4

Calculando a segunda derivada e igualando a 0, teremos:

y ' = - 1 2 6 x - 12

x = - 1 2

6 x - 12 = 0

x = 2

O que indica um ponto de máximo e um de mínimo.

Resposta

M á x i m o   l o c a l   e m   x = - 1   e   m í n i m o   l o c a l   e m   x ≈ 3,155

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