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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 25

Determine se é possível atribui um número finito para representar a medida do volume do sólido formado pela rotação, em torno do eixo x , da região a direita da reta x = 1 , e pela curva cuja equação é y = 1 x 3 2 . E pelo eixo x Caso seja possível, determine-o.

Passo 1

Vamos começar fazendo o esboço de y = 1 x 3 2 = x - 3 2

Ele quer que o volume seja a depois do eixo y . Usando discos, temos

r x = y x

E a integral vai ficar:

V = ∫ 1 + ∞ π y x 2 d x

Então a integralsera

V = ∫ 1 + ∞ π x - 3 2 2 d x = ∫ 1 + ∞ π x - 3 d x

Passo 2

Para resolvermos essa integral imprópria, vamos fazer o seu limite

∫ 1 + ∞ π x - 3 d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b π x - 3 d x

Sabemos que

∫ π x - 3 d x = - π 2 x - 2 + C

Logo

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b π π x - 3 d x = lim b → + ∞ ⁡ - π 2 x - 2 1 b = lim b → + ∞ ⁡ - π 2 b - 2 - - π 2 1 - 2 =

lim b → + ∞ ⁡ - π 2 b - 2 + + π 2 = - π 2 + ∞ - 2 + π 2 = 0 + π 2 = π 2

Resposta

π 2

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