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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 38

Determine os valores de n para os quais a seguinte integral imprópria converge.

∫ 1 + ∞ n x + 1 - 3 x 2 x 2 + n d x

Passo 1

Vamos começar calculando:

∫ 1 + ∞ n x + 1 - 3 x 2 x 2 + n d x

Vamos fazer:

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ 1 + ∞ n x + 1 - 3 x 2 x 2 + n d x = lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b n x + 1 - 3 x 2 x 2 + n d x

E calcular integral separadamente.

∫ n x + 1 - 3 x 2 x 2 + n d x  

Então vamos começar por ela.

Passo 2

∫ n x + 1 - 3 x 2 x 2 + n d x  

Pelas propriedades de integrais:

∫ n x + 1 - 3 x 2 x 2 + n d x   = ∫ n x + 1 d x   - ∫ 3 x 2 x 2 + n d x  

Temos que resolver cada integral separadamente:

Primeiro:

∫ n x + 1 d x  

Para isso, vamos fazer:

x + 1 = a → d a = d x

A nossa integral vai ficar:

∫ n x + 1 d x   = ∫ n d a a = n ∫ d a a = n ln ⁡ a + C

Voltando par a x

n ln ⁡ a + C = n ln ⁡ x + 1 + C

Passo 3

Agora

∫ 3 x 2 x 2 + n d x  

Para isso, vamos fazer:

2 x 2 + n = a → d a = 4 x d x → x d x = d a 4

A nossa integral vai ficar:

∫ 3 x 2 x 2 + n d x   = ∫ 3 d a 4 a = 3 4 ∫ d a a = 3 4 ln ⁡ a + C

Voltando par a x

3 4 ln ⁡ a + C = 3 4 ln ⁡ 2 x 2 + n + C

Passo 4

Nossa integral vai ser:

∫ n x + 1 - 3 x 2 x 2 + n d x   = n ln ⁡ x + 1 - 3 4 ln ⁡ 2 x 2 + n + C

Vamos arrumar esses logs

n ln ⁡ x + 1 - 3 4 ln ⁡ 2 x 2 + n + C = ln ⁡ x + 1 n - ln ⁡ 2 x 2 + n 3 4 + C

ln ⁡ x + 1 n 2 x 2 + n 3 4 + C

Passo 5

Voltando para o limite

lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b n x + 1 - 3 x 2 x 2 + n d x = lim b → + ∞ ⁡ ln ⁡ x + 1 n 2 x 2 + n 3 4 1 b =

lim b → + ∞ ⁡ ln ⁡ b + 1 n 2 b 2 + n 3 4 - ln ⁡ 1 + 1 n 2 1 2 + n 3 4 = lim b → + ∞ ⁡ ln ⁡ b + 1 n 2 b 2 + n 3 4 - ln ⁡ 2 n 2 + n 3 4

Para que a integral seja convergente, precisamos que aquele limite de 0 . Para isso acontecer devemos ter o limite daquela divisão de polinômios dando algum número.

Isso só vai acontecer se eles possuírem o mesmo grau.

Entao, devemos ter

n = 2   . 3 4

Porque o grau de cima é n , porque temos. E o grau de baixo é 2.3 4

Logo:

n = 3 2

Passo 6

Vamos resolver aquele limite com calma aqui:

lim b → + ∞ ⁡ b + 1 3 2 2 b 2 + n 3 4

Colocando b em evidência no numerador e b 2 no denominador, vamos ter:

b + 1 3 2 2 b 2 + n 3 4 = b 1 + 1 b 3 2 b 2 2 + n b 2 3 4 = b 3 2 1 + 1 b 3 2 b 3 2 2 + n b 2 3 4 = 1 + 1 n 3 2 2 + n b 2 3 4

O limite vai ficar:

lim b → + ∞ ⁡ b + 1 3 2 2 b 2 + n 3 4 = lim b → + ∞ ⁡ 1 + 1 n 3 2 2 + n b 2 3 4 = 1 + 0 3 2 2 + 0 3 4 = 1 2 3 4

Passo 7

Vamos finalizar com o nosso limite inical:

lim b → + ∞ ⁡ ln ⁡ b + 1 3 2 2 b 2 + n 3 4 - ln ⁡ 2 3 2 2 + n 3 4 = ln ⁡ 1 2 3 4 - ln ⁡ 2 3 2 2 + 3 2 3 4

ln ⁡ 2 - 3 4 - ln ⁡ 2 9 4 7 3 4 = - 3 4 ln ⁡ 2 - 9 4 ln ⁡ 2 + 3 4 ln ⁡ 7 = - 3 ln ⁡ 2 + 3 2 ln ⁡ 7

Resposta

Converge para n = 3 2

E o valor da integral vai ser:

- 3 ln ⁡ 2 + 3 2 ln ⁡ 7

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