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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.3 - Ex. 37

Determine os valores de n para os quais a seguinte integral imprópria converge.

∫ e + ∞ d x x ln ⁡ x n

Passo 1

Vamos começar calculando:

∫ e + ∞ d x x ln ⁡ x n

Vamos fazer:

Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:

∫ e + ∞ d x x ln ⁡ x n = ∫ e + ∞ d x x ln ⁡ x n = lim b → + ∞ ⁡ ∫ e b d x x ln ⁡ x n

E calcular integral separadamente.

∫ d x x ln ⁡ x n

Então vamos começar por ela.

Passo 2

∫ d x x ln ⁡ x n

Para isso, primeiro vamos fazer:

ln ⁡ x = a → d a = 1 x d x

A nossa integral vai ficar:

∫ d x x ln ⁡ x n = ∫ d a a n

Aqui, vamos separar em dois caso, Quando n = 1 e n ≠ 1 . Isso porque com n = 1 a integral é o log e no outro caso é a integral de potência mesmo

∫ a - n d a = a - n + 1 - n + 1 s e n ≠ 1 ln ⁡ a s e n = 1

Voltando para x

a - n + 1 - n + 1 s e n ≠ 1 ln ⁡ a s e n = 1 = ln ⁡ x - n + 1 - n + 1 s e n ≠ 1 ln ⁡ ln ⁡ x s e n = 1

Passo 3

Vamos resolver naqueles dois casos:

Primeiro n = 1

lim b → + ∞ ⁡ ∫ e b d x x ln ⁡ x n = lim b → + ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ b - ln ⁡ ln ⁡ e = lim b → + ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ b = + ∞

Entao para n = 1 essa interal diverge.

Passo 4

Agora n ≠ 1

lim b → + ∞ ⁡ ∫ e b d x x ln ⁡ x n = lim b → + ∞ ⁡ ln ⁡ b - n + 1 - n + 1 - ln ⁡ e - n + 1 - n + 1 lim b → + ∞ ⁡ ln ⁡ b - n + 1 - n + 1 - 1 - n + 1

Ali temos um ln ⁡ b elevando a um número, esse limite vai para 0 se o expoenente por negativo e para + ∞ se for positivo.

Assim, ela vai convergir apenas para

- n + 1 < 0

n > 1

Então a nossa integrai vai convergir par a

n > 1

Resposta

n > 1

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