Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 3
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
Passo 1
E aí, pessoal? Na boa?
Precisamos determinar se nossa série é absolutamente ou condicionalmente divergente:
Um teste que é bastante útil para determinar esse comportamento de séries é o Teste da Razão, lembra dele? Calculamos o limite:
Se , a série irá divergir, e no caso de a série vai convergir, em resumo. Então, precisamos calcular esse limite. Caso o Teste é inconclusivo e vamos precisar de outro método para determinar a convergência da série.
Bora resolver!
Passo 2
Definindo os termos do limite:
E para encontrar é só substituirmos nosso por e resolvendo as operações no denominador:
Quando substituirmos nossos termos no limite, os termos e poderão ser desprezados, já que ele torna alguns valores da série negativos e colocando dentro do módulo ficamos só com valores positivos:
Agora podemos retirar o módulo e resolver a divisão de frações multiplicando a “de cima” pelo inverso da “de baixo”:
Passo 3
Bom, só nos resta resolver esse limite. Mas antes vamos dar uma simplificada, dividindo o numerador e denominador por , assim fica bem mais fácil de avaliarmos o comportamento dos termos quando :
Como cresce infinitamente, nossos termos e diminuem cada vez mais, ficando mais e mais próximo de zero, portanto:
Como o limite da razão é igual a 1, o teste da razão é inconclusivo. Nesse caso, precisamos usar outro teste para determinar a convergência da série.
Passo 4
Dando uma olhadinha na nossa série, um termo chama atenção: . Repare que quando assume valores pares, nosso termo é positivo e quando assume valores ímpares o termo fica negativo. Então, a série alterna seu sinal de termo em termo. Bom, então podemos concluir que temos uma série Alternada.
A técnica que usamos para encontrar a convergência de uma série alternada é o Teste da Série Alternada: se a série alternada:
Onde , atender às nossas duas condições:
- para todo (ou seja, é decrescente).
Então a série é convergente.
Em resumo, vamos precisar verificar as duas condições acima para nossa série e se elas forem atendidas ela será convergente! Na nossa serie, é:
E é:
Passo 5
Para mostrarmos que o termo seguinte é menor que o anterior, vamos compará-los:
Ambos tem o mesmo numerador, mas o denominador de é maior que o de , portanto podemos dizer que:
Assim, a série é condicionalmente convergente, já que mostramos que , ou seja, é decrescente. Item (i) do Teste satisfeito.
Passo 6
Para finalizar, o item (ii) do teste:
Ou seja, a série é convergente.