Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 2
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo joia?
A questão quer que a gente defina se nossa série é absolutamente convergente ou condicionalmente:
Podemos dizer que uma série é absolutamente convergente se a série de valores absolutos for convergente.
Então, vamos calcular a convergência de:
Se for convergente, a série é absolutamente convergente. Se divergir, a série não é absolutamente convergente, mas ainda pode ser condicionalmente convergente se:
Convergir. Nesse processo de achar a convergência das séries vamos usar dois testes que já quero revisar aqui nesse primeiro passo.
Para achar a convergência da série acima, podemos usar o teste da série alternada, já que temos o termo: , que alterna os termos entre positivos e negativos. Relembrando: Se a série alternada:
Onde , atender às nossas duas condições:
- para todo (ou seja, é decrescente)
Então a série é convergente.
Aqui pro nosso caso, teremos:
O outro teste que poderemos aplicar é o da série-p, que tem essa carinha:
A vantagem disso é que para a p-série (ou série-p), basta analisarmos o valor de para entender se há convergência ou divergência.
Para a série-p, temos:
- É convergente se
- É divergente se
Vamos lá!
Passo 2
Primeiro vamos aplicar o módulo na série:
Ao fazermos isso, o termo alternado some:
A série que sobrou é muito parecida com a série :
Sendo o
Mas sabemos que essa série diverge para , então ela não é absolutamente convergente.
Passo 3
Vamos então usar o teste da série alternada para vermos se ela é condicionalmente convergente, ou se diverge. Como mostrei no passo 1, a série tem que obedecer aos requisitos (i) e (ii):
- Precisamos mostrar que:
Ou seja, se nossa série é decrescente. Nossa sequencia vai ser:
E o próximo termo é:
Comparando as duas vemos que:
Já que o denominador de:
É maior que o da primeira fração, isso torna o valor total sempre menor que o da fração de denominador menor. Portanto, é decrescente e a parte (i) do teste está verificada.
Calculando nosso limite vamos ter;
Como a série cumpre os dois requisitos do teste da série alternada, a série converge.
Então, nossa série converge condicionalmente.