Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 29
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Fala, amigos! Show de bola?
Nossa estratégia para essa questão será a de usar o Teste da Comparação para entender se nossa série converge ou diverge:
O que faremos aqui será encontrar uma outra série que a gente já sabe se converge ou diverge e compara com nossa série dada no enunciado.
- Se for convergente e para todo , então também será convergente.
- Se for divergente e para todo , então também será divergente.
Geralmente usamos séries-p ou séries geométricas para comparação. No nosso caso usaremos a série geométrica que é uma série que já sabemos que converge com .
Em resumo, vamos tentar usar a parte (i) do nosso Teste, ou seja, mostrar a convergência da nossa série mostrando que nossos termos são menores que os termos dessa nova série que achamos, portanto, as duas vão convergir.
O bizu aqui pro nosso caso é que vamos usar a expansão de para tirarmos de lá uma outra série
Vamos ver como fica isso!
Passo 2
Para esta série, vamos tentar provar que ela converge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série converge, precisamos de uma série convergente que seus termos sejam maiores que o da nossa série.
Se chamarmos o termo geral da nossa série de , podemos dizer que:
E isso vale para .
Para escolher a outra série vamos pensar o seguinte, temos que
Isso vale para , mas não tem problemas desconsideramos alguns primeiros termos, pois isso não afeta a convergência da série para os próximos termos .
Se colocarmos ambas as expressões como denominadores de fração, o sinal de desigualdade inverte:
Portanto, temos um termo que é maior que o nosso termo, então:
Passo 3
Então como e nós sabemos que converge pois é uma série geométrica com , pelo teste da comparação
É convergente.
Resposta
Converge.