Se a n -ésima soma parcial de uma série ∑ n = 1 ∞ a n for s n = n - 1 n + 1 Encontre a n e ∑ n = 1 ∞ a n .

a n = 2 n + 1 n lim n → ∞ ⁡ s n = 1

Enunciado

Fala, galera! Tudo bom?

Aqui precisamos encontrar a expressão dos termos da sequência e uma expressão para os termos da soma da série.

Vamos usar o fato de que é o termo somado com a soma da série até o termo antecessor .

Para encontrar o termo geral vamos usar a fórmula da soma parcial

Podemos chamar também

E então conhecemos e consequentemente , basta isolar .

Isolando

Substituindo e

Somando os termos, teremos:

Agora ficará mais simples se fizermos essa subtração de frações para ficarmos com uma única fração.

Fazendo o MMC entre e e prosseguindo com nossa subtração de frações, chegamos em:

Agora só precisamos fazer as multiplicações necessárias:

Como temos vários termos de mesmo valor mas sinais opostos, vamos cancelar esses termos:

Portanto temos nossa expressão para os termos da sequência.

Para achar a soma, basta aplicar o limite na fórmula da soma parcial

Colocando em evidencia em cima e em baixo