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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 25

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (1 + n + n^2)/(sqrt(1 + n^2 + n^6))

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a_n = (1 + n + n^2)/(sqrt(1 + n^2 + n^6))

Para comparar usaremos uma série similar a série que estamos analisando, com um polinômio de segundo grau no numerador e um polinômio de sexto grau dentro da raiz no denomidanor, que simplificando, nos dá a série harmônica

b_n = (n^2)/(sqrt(n^6)) = (n^2)/(n^3) = (1)/(n)

Passo 3

Vamos calcular o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((1 + n + n^2)/(sqrt(1 + n^2 + n^6)))/((1)/(n))

Fazendo a divisão de frações

= underset(n -> oo)(lim) (1 + n + n^2)/(sqrt(1 + n^2 + n^6)) * n

Colocando n^6 em evidencia na raiz e n^2 no numerador

= underset(n -> oo)(lim) (((1)/(n^2) + (1)/(n) + 1) n^2)/(sqrt(((1)/(n^6) + (1)/(n^4) + 1) n^6)) * n = underset(n -> oo)(lim) (((1)/(n^2) + (1)/(n) + 1) n^3)/(n^3 sqrt(((1)/(n^6) + (1)/(n^4) + 1)))

Simplificando n^3

= underset(n -> oo)(lim) (((1)/(n^2) + (1)/(n) + 1))/(sqrt(((1)/(n^6) + (1)/(n^4) + 1))) = 1

Como 1 > 0 e a série harmônica diverge

sum_(n = 1)^(oo) (1 + n + n^2)/(sqrt(1 + n^2 + n^6))

Também diverge.

Resposta

Diverge.

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