Determine o comprimento da curva dada.

r(t) = 〈 t^2, sen(t) - t * cos(t), cos(t) + t * sen(t) 〉, 0 ≤ t ≤ pi

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

A gente tem a curva:

r t = t 2 , sin ⁡ t - t cos ⁡ t , cos ⁡ t + t sin ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ π

E queremos encontrar o comprimento da curva dada.

Em uma equação paramétrica do seguinte tipo:

r t = < x t , y t , z t >

O comprimento da curva de um ponto t = a até um ponto t = b é dado por:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 + d z d t 2 d t

Passo 2

Queremos determinar o comprimento da seguinte curva:

r t = < t 2 , s e n t - t c o s t , cos ⁡ t + t s e n ( t ) > 0 ≤ t ≤ π

Vamos utilizar a fórmula e determinar o comprimento:

L = ∫ 0 π d d t t 2 2 + d d t s e n t - t c o s ( t ) 2 + d d t cos ⁡ t + t s e n ( t ) 2 d t

Realizando as derivadas e simplificando os termos semelhantes:

L = ∫ 0 π 2 t 2 + cos ⁡ t - cos ⁡ t + t s e n ( t ) 2 + - s e n t + s e n t + t c o s ( t ) 2 d t

Agora calculamos o quadrado:

L = ∫ 0 π 2 t 2 + t s e n t 2 + t c o s t 2 d t

L = ∫ 0 π 4 t 2 + t 2 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t d t

Lembrando que s e n 2 t + cos 2 ⁡ t = 1 :

L = ∫ 0 π 5 t 2 d t = ∫ 0 π t 5   d t

Como os limites de integração estão em t ≥ 0 , podemos retirar o módulo, pois t = t ,   t ≥ 0 :

L = ∫ 0 π t 5   d t

Agora podemos realizar a integral, que é uma integral polinomial:

L = t 2 2 5 0 π

Colocando o intervalo de integração:

L = π 2 2 5

Resposta

L = π 2 2 5

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